1991年(平成3年)東京大学前期-数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.05記

[1] 関数 $f(x)=x^3-2x^2-3x+4$ の，区間 $-\dfrac{7}{4}\leqq x\leqq 3$ での最大値と最小値を求めよ．

本問のテーマ

3次関数の箱（4等分×2等分）

2024.01.06記
3次関数において，極大値や極小値と同じ高さに到達する場所はどこかは，

3次関数の箱（4等分×2等分）

を考えればわかるので，その場所と端点を比較すれば， $x$ 座標の比較だけで最大・最小をとる $x$ の値がわかる．

平方根の値を評価するために2乗計算を行うが，
$n^2+(2n+1)=(n+1)^2$ ， $n^2=(n+1)^2-(2n+1)$ は当たり前の式だが，
$29^2=900-59=841$ ，
のように計算する方法も知っておくと良い．

[解答]
$f'(x)=3x^2-4x-3=0$ を解くと $x=\dfrac{2\pm\sqrt{13}}{3}$ が成立し，
$f\left(\dfrac{2\pm\sqrt{13}}{3}\right)=f\left(\dfrac{2\mp2\sqrt{13}}{3}\right)$ (複号同順)
が成立する．

$\dfrac{2-2\sqrt{13}}{3}-\left(-\dfrac{7}{4}\right)=\dfrac{29-8\sqrt{13}}{12}$ であり， $29^2=841$ ， $8^2\cdot 13=8\cdot 104=832$ より
$-\dfrac{7}{4}\lt \dfrac{2-2\sqrt{13}}{3}$ となり， $f(x)$ の極小値よりも $f\left(-\dfrac{7}{4}\right)$ の方が小さい．

$\dfrac{2+2\sqrt{13}}{3}-3=\dfrac{2\sqrt{13}-7}{3}$ であり， $2^2\cdot 13=52$ ， $7^2=49$ より
$3\lt \dfrac{2+2\sqrt{13}}{3}$ となり， $f(x)$ の極大値よりも $f(3)$ の方が小さい．

よって，求める最大値は極大値 $f\left(\dfrac{2-\sqrt{13}}{3}\right)$ であり，最小値は $f\left(-\dfrac{7}{4}\right)=-\dfrac{143}{64}$ である．

$f(x)$ を $f'(x)$ で割った余りは $-\dfrac{26}{9}x+\dfrac{10}{3}$ だから
$f\left(\dfrac{2-\sqrt{13}}{3}\right)$ $=-\dfrac{26}{9}\cdot\dfrac{2-\sqrt{13}}{3}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{38+26\sqrt{13}}{27}$
となる．

以上から，最大値は $\dfrac{38+26\sqrt{13}}{27}$ ，最小値は $-\dfrac{143}{64}$ である．