1998年(平成10年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[1] $a$ は0でない実数とする．関数
$f(x)=(3x^2-4) \left( x-a+\dfrac{1}{a} \right)$
の極大値と極小値の差が最小となる $a$ の値を求めよ．

[2] $n$ を正の整数とする．連立不等式
$\left\{\begin{array}{l} x+y+z \leqq n \\ -x+y-z \leqq n \\ x-y-z \leqq n \\ -x-y+z \leqq n \end{array}\right.$
をみたす $xyz$ 空間の点 $\mbox{P}(x,y,z)$ で， $x$ ， $y$ ， $z$ がすべて整数であるものの個数を $f(n)$ とおく．極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(n)}{n^3}$ を求めよ．

[3] $xy$ 平面に2つの円
$C_0:x^2+\left( y-\dfrac{1}{2} \right)^2=\dfrac{1}{4}$ ，
$C_1:(x-1)^2+\left( y-\dfrac{1}{2} \right)^2=\dfrac{1}{4}$
をとり， $C_2$ を $x$ 軸と $C_0$ ， $C_1$ に接する円とする．さらに， $n=2$ ， $3$ ，… に対して $C_{n+1}$ を $x$ 軸と $C_{n-1}$ ， $C_n$ に接する円で $C_{n-2}$ とは異なるものとする． $C_n$ の半径を $r_n$ ， $C_n$ と $x$ 軸の接点を $(x_n,0)$ として， $q_n=\dfrac{1}{\sqrt{2r_n}}$ ， $p_n=q_nx_n$ とおく．

(1) $q_n$ は整数であることを示せ．

(2) $p_n$ も整数で， $p_n$ と $q_n$ は互いに素であることを示せ．

(3) $\alpha$ を $\alpha=\dfrac{1}{1+\alpha}$ を満たす正の数として，不等式 $|x_{n+1}-\alpha|\lt \dfrac{2}{3}|x_n-\alpha|$ を示し，極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ を求めよ．

[4] 実数 $a$ に対して $k\leqq a \lt k+1$ をみたす整数 $k$ を $[a]$ で表す． $n$ を正の整数として，
$f(x)=\dfrac{x^2(2\cdot3^3\cdot n-x)}{2^5\cdot3^3\cdot n^2}$
とおく． $36n+1$ 個の整数 $[f(0)]$ ， $[f(1)]$ ， $[f(2)]$ ，…， $[f(36n)]$ のうち相異なるものの個数を $n$ を用いて表せ．

[5] $\theta$ は $0\leqq\theta\lt 2\pi$ をみたす実数とする． $xy$ 平面にベクトル $\overrightarrow{a}=(\cos\theta,\sin\theta)$ ， $\overrightarrow{b}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ をとり，点 $\mbox{P}_n$ ， $\mbox{Q}_n$ ， $n=1$ ， $2$ ，… を
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{\mbox{OP}_1}=(1,0) \\ \overrightarrow{\mbox{OQ}_n} =\overrightarrow{\mbox{OP}_n}-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}_n})\overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{\mbox{OP}_{n+1}}=4\{ \overrightarrow{\mbox{OQ}_n}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\mbox{OQ}_n})\overrightarrow{b} \}\end{array}\right.$
で定める．ただし， $\mbox{O}$ は原点で， $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}_n}$ および $\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{\mbox{OQ}_n}$ はベクトルの内積を表す． $\overrightarrow{\mbox{OP}_n}=(x_n,y_n)$ とおく．数列 $\{x_n\}$ ， $\{y_n\}$ がともに収束する $\theta$ の範囲を求めよ．
さらに，このような $\theta$ に対して，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n$ を求めよ．