1999年(平成11年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.11記

[1] (1) 一般角 $\theta$ に対して $\sin\theta$ ， $\cos\theta$ の定義を述べよ．

(2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 $\alpha$ ， $\beta$ に対して
$\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ，
$\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
を証明せよ．

[2] 複素数 $z_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）を
$z_1=1$ ， $z_{n+1}=(3+4i)z_n+1$ によって定める．
ただし $i$ は虚数単位である．

(1) すべての自然数 $n$ について
$\dfrac{3\times5^{n-1}}{4}\lt |z_n|\lt \dfrac{5^n}{4}$
が成り立つことを示せ．

(2) 実数 $r\gt 0$ に対して， $|z_n| \leqq r$ を満たす $z_n$ の個数を $f(r)$ とおく．このとき，
$\displaystyle\lim_{r\to+\infty} \dfrac{f(r)}{\log r}$
を求めよ．

[3] $p$ を $0\lt p\lt 1$ を満たす実数とする．

(1) 四面体 $\mbox{ABCD}$ の各辺はそれぞれ確率 $p$ で電流を通すものとする．このとき，頂点 $\mbox{A}$ から $\mbox{B}$ に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．

(2) (1)で考えたような2つの四面体 $\mbox{ABCD}$ と $\mbox{EFGH}$ を図のように頂点 $\mbox{A}$ と $\mbox{E}$ でつないだとき，頂点 $\mbox{B}$ から $\mbox{F}$ に電流が流れる確率を求めよ．

[4] $xyz$ 空間において $xy$ 平面上に円板 $A$ があり $xz$ 平面上に円板 $B$ があって以下の $2$ 条件を満たしているものとする．

(a) $A$ ， $B$ は原点からの距離が $1$ 以下の領域に含まれる．

(b) $A$ ， $B$ は一点 $\mbox{P}$ のみを共有し， $\mbox{P}$ はそれぞれの円周上にある．

このような円板 $A$ と $B$ の半径の和の最大値を求めよ．ただし，円板とは円の内部と円周をあわせたものを意味する．

[5] (1) $k$ を自然数とする． $m$ を $m=2^k$ とおくとき， $0\lt n\lt m$ を満たすすべての整数 $n$ について，二項係数 ${}_{m}\mbox{C}_{n}$ は偶数であることを示せ．

(2) 以下の条件を満たす自然数 $m$ をすべて求めよ．

条件： $0\leqq n\leqq m$ を満たすすべての整数 $n$ について二項係数 ${}_{m}\mbox{C}_{n}$ は奇数である．

[6] $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\, e^x {\sin}^2x \,dx\gt 8$ であることを示せ．ただし， $\pi=3.14…$ は円周率， $e=2.71…$ は自然対数の底である．

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