2020.07.23記
[6] であることを示せ.ただし, は円周率, は自然対数の底である.
2020.07.23記
ちょっと格好つけて
と評価すると,評価が粗すぎて失敗する.
素直に積分する.
[解答]
となり,,なるを用いて
となる.よって, を示せば良い.
となり,,なるを用いて
となる.よって, を示せば良い.
ここで,下に凸な の における接線の式から, で となるので,
が成立する.
よって
となり,題意は示された.
1.14 を 10/9 で評価している解答は見掛けなかった。まぁ、1.1でも十分だから。でもは暗算でできるので、1.1よりも 10/9 の方が少し計算が楽で、しかも厳しい評価になっている。
ここで, の不等式が、良い近似式としても通用する範囲は、やはり二次の項 が小さい範囲なので、 は緩々の不等式となる。そこでが0に近い数になるようにを考えている。
また,における接線の式で評価してにを代入して としても良いが,指数関数の平行移動が拡大になるという関数方程式 を考えると,今回の場合は,全く同じことを行なっていることがわかる。
さらに、 で、 の間での平均値の定理を使っても同じ不等式がでる.
なお,であるから,1割ぐらいの誤差は許容されるので、粗すぎず、細かすぎない絶妙な値になっている。