1999年(平成11年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.11記

[2] 複素数 $z_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）を
$z_1=1$ ， $z_{n+1}=(3+4i)z_n+1$ によって定める．
ただし $i$ は虚数単位である．

(1) すべての自然数 $n$ について
$\dfrac{3\times5^{n-1}}{4}\lt |z_n|\lt \dfrac{5^n}{4}$
が成り立つことを示せ．

(2) 実数 $r\gt 0$ に対して， $|z_n| \leqq r$ を満たす $z_n$ の個数を $f(r)$ とおく．このとき，
$\displaystyle\lim_{r\to+\infty} \dfrac{f(r)}{\log r}$
を求めよ．

2020.01.12記

[解答]
(1) 三角不等式より
$5|z_n|-1\leqq |z_{n+1}| \leqq 5|z_n|+1$
が成立する．

$|z_{n+1}|+\dfrac{1}{4} \leqq 5\Bigl(|z_n|+\dfrac{1}{4}\Bigr)$ により， $|z_{n}|+\dfrac{1}{4} \leqq 5^{n-1}\Bigl(1+\dfrac{1}{4}\Bigr)=\dfrac{5^n}{4}$ であり，
$|z_{n+1}|-\dfrac{1}{4} \geqq 5\Bigl(|z_n|-\dfrac{1}{4}\Bigr)$ により， $|z_{n}|-\dfrac{1}{4} \leqq 5^{n-1}\Bigl(1-\dfrac{1}{4}\Bigr)=\dfrac{3\cdot 5^{n-1}}{4}$ である．

(2) 区間 $\dfrac{3\cdot 5^{n-1}}{4}\leqq r\leqq \dfrac{5^n}{4}$ は重なりあわないので，

$\dfrac{5^{n-1}}{4}\leqq r \lt \dfrac{5^n}{4}$ なる $r$ に対して $n-1\leqq f(r)\leqq n$ が成立する．

よって
$(n-1)\log 5 - \log 4 \leqq \log r \lt n\log 5 - \log 4$
から，
$\dfrac{\log r + \log 4}{\log 5}-1\lt f(r)\leqq \dfrac{\log r + \log 4}{\log 5} +1$ が成立する．
ゆえに
$\dfrac{1}{\log 5} +\dfrac{\log 0.8}{\log r} \lt \dfrac{f(r)}{\log r} \leqq \dfrac{1}{\log 5}+\dfrac{\log 20}{\log r}$
となり，
$\displaystyle\lim_{r\to+\infty} \dfrac{f(r)}{\log r}=\dfrac{1}{\log 5}$

$\alpha=(3+4i)\alpha+1$ をみたす $\alpha=-\dfrac{-1+2i}{10}$ を用いて
$z_n=(3+4i)^{n-1}(z_1-\alpha)+\alpha$
と一般項を求めることができます．