1999年(平成11年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.11記

[1] (1) 一般角 $\theta$ に対して $\sin\theta$ ， $\cos\theta$ の定義を述べよ．

(2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 $\alpha$ ， $\beta$ に対して
$\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ，
$\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
を証明せよ．

2021.01.12記

[解答]
(1) 点 $(1,0)$ を原点中心に反時計回りに $\theta$ 回転させた点を $(\cos\theta,\sin\theta)$ と定義する．

(2) 点 $(1,0)$ を原点中心に反時計回りに $\theta$ 回転させた点は $\cos\theta(1,0)+\sin\theta(0,1)$ である．

$(1,0)$ ， $(0,1)$ を原点中心に反時計回りに $\beta$ 回転させたベクトルは $(\cos\beta,\sin\beta)$ ， $(-\sin\beta,\cos\beta)$ であるから，点 $(1,0)$ を原点中心に反時計回りに $\alpha+\beta$ 回転させた点は
$\cos\alpha(\cos\beta,\sin\beta)+\sin\alpha(-\sin\beta,\cos\beta)$
であり，これは $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))$ に等しい．

よって各成分を比較して
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ ，
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ，

個人的には，スカラーを前に書くよりも，1×1行列と思って後に書く方が好み．

(2) 点 $(1,0)$ を原点中心に反時計回りに $\theta$ 回転させた点は $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cos\theta+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \sin\theta$ である．

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を原点中心に反時計回りに $\alpha$ 回転させたベクトルは $\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} -\sin\alpha \\ \cos\alpha \end{pmatrix}$ であるから，点 $(1,0)$ を原点中心に反時計回りに $\alpha+\beta$ 回転させた点は
$\begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\cos\beta+\begin{pmatrix} -\sin\alpha \\ \cos\alpha \end{pmatrix}\sin\beta$ であり，これは $\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) \end{pmatrix}$ に等しい．

よって各成分を比較して
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ ，
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ，