1999年(平成11年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.11記

[3] $p$ を $0\lt p\lt 1$ を満たす実数とする．

(1) 四面体 $\mbox{ABCD}$ の各辺はそれぞれ確率 $p$ で電流を通すものとする．このとき，頂点 $\mbox{A}$ から $\mbox{B}$ に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．

(2) (1)で考えたような2つの四面体 $\mbox{ABCD}$ と $\mbox{EFGH}$ を図のように頂点 $\mbox{A}$ と $\mbox{E}$ でつないだとき，頂点 $\mbox{B}$ から $\mbox{F}$ に電流が流れる確率を求めよ．

2021.01.13記

[解答]
(1) (a) AB に電流が流れるとき，その確率は $p$

(b) AB に電流が流れず，CDにも電流が流れないとき，その確率は $(1-p)^2(2p^2-p^4)$

よって，これらを合計して $p(1+2p-7p^3+7p^4-2p^5)$

(2) AからFに流れる確率も $p(1+2p-7p^3+7p^4-2p^5)$ だから，求める確率は $p^2(1+2p-7p^3+7p^4-2p^5)^2$