2000年(平成12年)京都大学前期-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.04記

[3]
$\vec{a}=(1，0，0)$ ， $\vec{b}=\Bigl(\cos\dfrac{\pi}{3}，\sin\dfrac{\pi}{3}，0\Bigr)$ とする．

(1) 長さ1の空間ベクトル $\vec{c}$ に対し， $\cos\alpha=\vec{a}\cdot\vec{c}$ ， $\cos\beta=\vec{b}\cdot\vec{c}$ とおく．このとき次の不等式 $(\ast)$ が成り立つことを示せ．

$(\ast)\quad \cos^2\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta\leqq\dfrac{3}{4}$

(2) 不等式 $(\ast)$ を満たす $(\alpha，\beta)$ （ $0\leqq\alpha\leqq\pi，0\leqq\beta\leqq\pi$ ）の範囲を図示せよ．

2020.09.04記
(1) 3つの単位ベクトルが互いになす角度が $\alpha，\beta，\dfrac{\pi}{3}$ とするとき，3つのベクトルでできる平行6面体の体積 $V$ について
四面体の体積を求めるオイラーの公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
により
$V^2=1+\cos\alpha\cos\beta-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\dfrac{1}{4}\geqq 0$
が成立する（平行6面体がつぶれても良い）．

(2) 平行6面体の1頂点に集まる3つの角度は

(a) それぞれ $0$ より大きく $\pi$ 未満
(b) 3つの和は $2\pi$ 未満
(c) 2つの和は残りの1つより大きい

という条件をみたす．今回は一致しても良いので等号を含む．

任意の $\alpha,\beta$ に対して成立する不等式は正確には $-\dfrac{1}{4} \leqq \cos^2\alpha -\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta\leqq\dfrac{3}{4}$ であるが，条件 $(\ast)$ はそれを全て含んでいるので，結局、平行6面体ができるような任意の $\alpha,\beta$ のみたす領域を考えれば良い．

よって， $0\leqq\alpha,\beta\leqq\pi$ ， $\dfrac{1}{3}\pi\leqq \alpha+\beta\leqq \dfrac{5}{3}\pi$ ， $-\dfrac{1}{3}\pi \leqq \alpha-\beta\leqq\dfrac{1}{3}\pi$ を図示すれば良い．

それは　 $\Bigl(0，\dfrac{1}{3}\pi\Bigr)$ ， $\Bigl(\dfrac{1}{3}\pi，0\Bigr)$ ， $\Bigl(\pi，\dfrac{2}{3}\pi\Bigr)$ ， $\Bigl(\dfrac{2}{3}\pi，\pi\Bigr)$ 　を4頂点とする長方形の周または内部となる．

1991年(平成3年)京都大学後期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
も参照のこと．