2002年(平成14年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.13記

[1] 2つの放物線
$\begin{matrix} y=2\sqrt{3}(x-\cos\theta)^2+\sin\theta \\ y=-2\sqrt{3}(x+\cos\theta)^2-\sin\theta \end{matrix}$
が相異なる $2$ 点で交わるような $\theta$ の範囲を求めよ．
ただし， $0^{\circ} \leqq \theta \lt {360}^{\circ}$ とする．

[2] $n$ は正の整数とする． $x^{n+1}$ を $x^2-x-1$ で割った余りを $a_nx+b_n$ とおく．

(1) 数列 $a_n$ ， $b_n$ ， $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，…，は
$\left\{\begin{array}{l} a_{n+1}=a_n+b_n \\ b_{n+1}=a_n \end{array}\right.$
を満たすことを示せ．

(2) $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，… に対して， $a_n$ ， $b_n$ は共に正の整数で，互いに素であることを証明せよ．

[3] 2つの関数
$f(x)=ax^3+bx^2+cx$ ，
$g(x)=px^3+qx^2+rx$
が次の $5$ つの条件を満たしているとする．
$f(0)=g'(0)$ ， $f(-1)=-1$ ， $f'(-1)=0$ ， $g(1)=3$ ， $g'(1)=0$
ここで $f(x)$ ， $g(x)$ の導関数をそれぞれ $f'(x)$ ， $g'(x)$ で表している．このような関数のうちで，定積分
$\displaystyle\int_{-1}^{0} { \{ f''(x) \} }^2\,dx+\displaystyle\int_{0}^{1} { \{ g''(x) \} }^2\,dx$
の値を最小にするような $f(x)$ と $g(x)$ を求めよ．ただし， $f''(x)$ ， $g''(x)$ はそれぞれ $f'(x)$ ， $g'(x)$ の導関数を表す．