2003年(平成15年)東京大学後期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.18記

2021.01.28記
$x\approx 0$ のとき， $\cos x\approx 1$ ， $\sin x\approx x$ となるので，
$\displaystyle \int_{a_n}^{\pi/2} \sin^2 x dx$ $= \displaystyle\int_0^{\pi/2-a_n} \cos^2 x dx$ $\approx \displaystyle\int_0^{\pi/2-a_n} dx=\dfrac{\pi}{2}-a_n$ から $n\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-a_n\Bigr)\approx \dfrac{\pi}{4}$ ，
$\displaystyle \int_0^{b_n} \sin^2 x dx$ $\approx\displaystyle\int_0^{b_n} x^2 dx$ $= \dfrac{b_n^3}{3}$ から， $n^{1/3}b_n \approx \sqrt[3]{\dfrac{3\pi}{4}}$
となる，というのを(1)を使って精密に評価する話．

[解答]
(1) $f(x)=\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^3}{3!}+x-\sin x$ とおくと
$f'(x)=\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^2}{2!}+1-\cos x$
$f''(x)=\dfrac{x^3}{3!}-x+\sin x$
$f'''(x)=\dfrac{x^2}{2}-1+\cos x$
$f^{(4)}=x-\sin x$
である．
$f^{(4)}(0)=0$ と $f^{(4)}(x)\gt 0$ （ $x\gt 0$ ）から $f'''(x)\gt 0$ （ $x\gt 0$ ），
$f’’’(0)=0$ と $f''(x)\gt 0$ （ $x\gt 0$ ）から $f''(x)\gt 0$ （ $x\gt 0$ ），
$f’’(0)=0$ と $f'(x)\gt 0$ （ $x\gt 0$ ）から $f'(x)\gt 0$ （ $x\gt 0$ ），
$f’(0)=0$ と $f'(x)\gt 0$ （ $x\gt 0$ ）から $f(x)\gt 0$ （ $x\gt 0$ ）
である． $f''(x)\gt 0$ より $(左辺)\leqq (中辺)$ ， $f(x)\gt 0$ より $(中辺)\leqq (右辺)$ が示された．

(2) $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx =\dfrac{\pi}{2}$ により， $\displaystyle n\int_{a_n}^{\pi/2} \sin^2 x dx =\dfrac{\pi}{4}$ が成立しており，平均値の定理から $n\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-a_n\Bigr) \sin^2 c=\dfrac{\pi}{4}$ なる $c$ （ $a_n\lt c\lt \dfrac{\pi}{2}$ ）が存在する．
$n\to\infty$ で $a_n,c\to\dfrac{\pi}{2}$ だから， $n\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-a_n\Bigr) \to \dfrac{\pi}{4}$ が成立する．

(3) $\displaystyle \int_0^{b_n} \sin^2 x dx =\dfrac{\pi}{4n}$ である．

$x$ が十分小さいとき，
(1) により $x^2-\dfrac{x^4}{3}+\dfrac{x^6}{3!3!} \leqq \sin^2 x \leqq x^2-\dfrac{x^4}{3}+ \Bigl(\dfrac{1}{3!3!}+\dfrac{2}{5!}\Bigr)x^6 -\dfrac{x^8}{3!5!}+\dfrac{x^{10}}{5!5!}$
が成立する．

$n$ が十分大きいとき， $b_n$ は十分0に近い正の値になるので，
$\dfrac{b_n^3}{3}-\dfrac{b_n^5}{15}+\dfrac{b_n^7}{7\cdot3!3!} \leqq \dfrac{\pi}{4n}$ $\leqq \dfrac{b_n^3}{3}-\dfrac{b_n^5}{15}+\dfrac{1}{7}\Bigl(\dfrac{1}{3!3!}+\dfrac{2}{5!}\Bigr)b_n^7 -\dfrac{b_n^9}{9\cdot 3!5!}+\dfrac{b_n^{11}}{11\cdot 5!5!}$
つまり
$\dfrac{1}{3}-\dfrac{b_n^2}{15}+\dfrac{b_n^4}{7\cdot3!3!} \leqq \dfrac{\pi}{4nb_n^3}$ $\leqq \dfrac{1}{3}-\dfrac{b_n^2}{15}+\dfrac{1}{7}\Bigl(\dfrac{1}{3!3!}+\dfrac{2}{5!}\Bigr)b_n^4 -\dfrac{b_n^6}{9\cdot 3!5!}+\dfrac{b_n^{8}}{11\cdot 5!5!}$
が成立し， $n\to\infty$ で $b_n\to 0$ だから $\dfrac{\pi}{4nb_n^3}\to\dfrac{1}{3}$ が成立する．

よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{1/3} b_n=\sqrt[3]{\dfrac{3\pi}{4}}$