2022年(令和4年)九州大学前期-数学（III）[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.27記

[4] 定積分について述べた次の文章を読んで，後の問いに答えよ。

区間 $a\leqq x\leqq b$ で連続な関数 $f(x)$ に対して， $F'(x) = f(x)$ となる関数 $F(x)$ を1つ選び， $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分を
$\displaystyle\int_a^b f(x) dx =F(b)-F(a)\cdots$ ①
で定義する。定積分の値は $F(x)$ の選び方によらずに定まる。定積分は次の性質
(A),(B),(C) をもつ。

(A) $\displaystyle\int_a^b \{kf(x)+lg(x)\} dx$ $=k \displaystyle\int_a^b f(x) dx$ $+l \displaystyle\int_a^b g(x) dx$

(B) $a\leqq c\leqq b$ のとき，
$\displaystyle\int_a^c f(x) dx$ $+\displaystyle\int_c^b f(x) dx$ $=\displaystyle\int_a^b f(x) dx$

(C) 区間 $a\leqq x\leqq b$ において $g(x)\geqq h(x)$ ならば， $\displaystyle\int_a^b g(x) dx$ $\geqq \displaystyle\int_a^b h(x) dx$

ただし， $f(x),g(x),h(x)$ は区間 $a\leqq x\leqq b$ 連続な関数， $k, l$ は定数である。

以下， $f(x)$ を区間 $0\leqq x\leqq 1$ で連続な増加関数とし， $n$ を自然数とする。
定積分の性質［ア］を用い，定数関数に対する定積分の計算を行うと，

$\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)$ $\leqq\displaystyle\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x)dx$ $\leqq\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{i}{n}\right)\cdots$ ②

が成り立つことがわかる． $S_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)$ とおくと，不等式②と定積分の性質［イ］より次の不等式が成り立つ。

$0\leqq\displaystyle\int_0^1 f(x) dx -S_n \leqq \dfrac{f(1)-f(0)}{n}\cdots$ ③

よって，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n$ $=\displaystyle\int_0^1 f(x) dx$ が成り立つ。

(1) 関数 $F(x), G(x)$ が微分可能であるとき，
$\{F(x)+G(x)\}'=F'(x)+G'(x)$
が成り立つことを，導関数の定義に従って示せ。また，この等式と定積分の定義①を用いて，定積分の性質(A)で $k=l=1$ とした場合の等式

$\displaystyle\int_a^b \{f(x)+g(x)\} dx$ $\displaystyle\int_a^b f(x) dx$ $+\displaystyle\int_a^b g(x) dx$

を示せ。

(2）定積分の定義①と平均値の定理を用いて，次を示せ。

$a\lt b$ のとき，区間 $a\leqq x\leqq b$ において $g(x)\gt 0$ ならば， $\displaystyle\int_a^b g(x) dx\gt 0$

(3) (A),(B),(C) のうち，空欄［ア］に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また文章中の下線部の内容を詳しく説明することで，不等式②を示せ。

(3) (A),(B),(C) のうち，空欄［イ］に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また，不等式③を示せ。

2022.02.27記
区分求積法で面積が求まることのはさみうちの原理を用いた証明（問題文③式を利用する方法）は、高校生のときに

微積分に強くなるその意味と考え方 (ブルーバックス)

作者:柴田敏男
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を読んで知った（p.55あたり）。

2022.02.28記

[解答]

(1) $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=F'(x)$ ， $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{G(x+h)-G(x)}{h}=G'(x)$ が成り立つとき，
$\{F(x)+G(x)\}'=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\{F(x+h)+G(x+h)\}-\{F(x)+G(x)\}}{h}$
$=\displaystyle\lim_{h\to 0}\left\{ \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}+ \dfrac{G(x+h)-G(x)}{h}\right\}$ $=F'(x)+G'(x)$
であるから題意は示された．

(2) $G'(x)=g(x)$ なる関数を1つ選ぶ。このとき平均値の定理から
$\dfrac{G(b)-G(a)}{b-a}=G'(c)=g(c)$
をみたす $c$ が $a$ と $b$ の間に存在する。よって
$\displaystyle\int_a^b g(x)dx=G(b)-G(a)=(b-a)g(c)$
となるが， $g(c)\gt 0$ ， $b-a\gt0$ より題意は示された．

(3) (C) である。

$f(x)$ を区間 $0\leqq x\leqq 1$ で連続な増加関数であるから，
区間 $\dfrac{i-1}{n}\leqq x\leqq \dfrac{i}{n}$ で
$f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)\cdot 1\leqq f(x)\leqq f\left(\dfrac{i}{n}\right)$
が成立する．よって(C)から
$f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)\displaystyle\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} 1 dx$ $\leqq \displaystyle\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x) dx$ $\leqq f\left(\dfrac{i}{n}\right)\displaystyle\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} 1 dx$
が成立する．ここで $(x)'=1$ により，一般に $\displaystyle\int_a^b 1dx=b-a$ が成立することから，
$\dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{i-1}{n}\right)$ $\leqq \displaystyle\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x) dx$ $\leqq \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{i}{n}\right)$
が成立する。

(4) (B) である。

②で $i=1,2,\ldots,n$ としたものを加え，(B) を繰り返し用いると
$\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^nf\left(\dfrac{i-1}{n}\right)$ $\leqq \displaystyle\int_{\frac{0}{n}}^{\frac{n}{n}} f(x) dx$ $\leqq \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^nf\left(\dfrac{i}{n}\right)$
となり，
$S_n$ $\leqq \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) dx$ $\leqq S_n+\dfrac{f(1)-f(0)}{n}$
つまり，
$0$ $\leqq \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) dx-S_n$ $\dfrac{f(1)-f(0)}{n}$
が成立する。

結局解いた。