1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] $k$ を実数の定数とするとき， $x$ の関数 $f(x)=|x^3-3kx|$ が $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲でとる最大値を $M(k)$ で表す． $k$ が実数全体を動くとき， $M(k)$ が最小となる $k$ の値および $M(k)$ の最小値を求めよ．

本問のテーマ

チェビシェフ多項式

2023.08.17記

[解答]
$f(x)=|x|\cdot \Bigl||x|^2-3\Bigr|$ は偶関数だから， $0\leqq x\leqq 1$ における $f(x)$ の最大値について考えれば良く，
それは端点と極値の大小を比べれば良い（ $f(0)=0$ は明らかに最大値とはならないので除外して良い）．

(i) $k\leqq 0$ のとき $f(x)$ は単調増加だから $M(k)=f(1)=1-3k$

(ii) $k\gt 0$ のとき $f(1)=1-3k$ と $f(\sqrt{k})=2k\sqrt{k}$ （ $0\lt k\lt 1$ ）の大きい方が $M(k)$ となる．
よって
$0\lt k\leqq\dfrac{1}{4}$ のとき $M(k)=1-3k$ （単調減少），
$\dfrac{1}{4}\lt k\leqq 1$ のとき $M(k)=2k\sqrt{k}$ （単調増加）
となる．よって $M(k)$ は $k=\dfrac{1}{4}$ のときに最小値 $\dfrac{1}{4}$ をとる．

チェビシェフ多項式

任意の $\theta$ に対して
$T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$
をみたす多項式をチェビシェフ多項式という． $T_n(x)$ は最高次の係数が $2^{n-1}$ である $n$ 次式となる．例えば $T_2(x)=2x^2-1$ ， $T_3(x)=4x^3-3x$ である．

チェビシェフ多項式にはいくつかの有名な性質があるが，本問で問われている

［チェビシェフの定理］
$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ （モニック多項式）
とするとき， $|f(x)|$ の $-1\leqq x\leqq 1$ における最大値は $\dfrac{1}{2^{n-1}}$ 以上となる
（等号成立は $f(x)=\dfrac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$ のとき）

というものがある．チェビシェフの定理の証明の $n=3$ の場合について述べる．
$T_3(\cos\theta)=\cos3\theta$
に注意すると， $T_3(x)$ は $-1\leqq x\leqq 1$ で $-1$ と $1$ の間をジグザグする．

$x$	$-1$	$\cdots$	$x_1$	$\cdots$	$x_2$	$\cdots$	$1$
$T_3(x)$	$-1$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$1$

（ $x_1,x_2$ の値は求まるが必要ない）

ではチェビシェフの定理の証明の $n=3$ の場合を証明しよう．

$|f(x)|$ の $-1\leqq x\leqq 1$ における最大値 $M$ が $M\leqq \dfrac{1}{4}$ と仮定する．

このとき $-1\leqq x\leqq 1$ なる任意の $x$ に対して $-\dfrac{1}{4}\leqq f(x)\leqq \dfrac{1}{4}$ が成立する．

ここで $F(x)=4f(x)-T_3(x)$ とおくと， $F(x)$ は $2$ 次以下の多項式となるが，
$F(-1)=4f(-1)-T_3(-1)=4f(-1)+1\geqq -4\cdot\dfrac{1}{4}+1=0$ ，
$F(x_1)=4f(x_1)-T_3(x_1)=4f(x_1)-1\leqq 4\cdot\dfrac{1}{4}-1=0$ ，
$F(x_2)=4f(x_2)-T_3(x_2)=4f(x_2)+1\geqq -4\cdot\dfrac{1}{4}+1=0$ ，
$F(1)=4f(1)-T_3(1)=4f(1)-1\leqq 4\cdot\dfrac{1}{4}-1=0$
であるから，中間値の定理より， $F(x)=0$ なる $x$ が $-1\lt x\lt x_1$ ， $x_1\lt x\lt x_2$ ， $x_2\lt x\lt 1$ の範囲に少なくとも1つずつ存在する．しかし $F(x)$ は2次以下であるから，このようなことは $F(x)$ が恒等的に $0$ となる場合しか起こらない．