[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科)[4]

本問のテーマ
射影行列への直和分解（スペクトル分解）

2021.02.03記

行列の射影行列への直和分解

行列のスペクトル分解はそもそも対称行列やエルミート行列に対する用語だった気がして，一般射影分解とか，射影行列への直和分解とか個人的には呼んでいたが，一般スペクトル分解という呼び方もいつのまにか登場している．

[解答]
(1) (P+Q)A=aP^2+aQP+(a+1)PQ+(a+1)Q^2=aP+(a+1)Q=A より成立．

(2) I を2次単位行列とする．a\gt 0 より A の行列式 a(a+1) は 0 でないので，A^{-1} が存在し，(1) より P+Q=I が成立する.これと A=aP+(a+1)Q と連立させて
P=(a+1)I-A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}，Q=A-aI=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

(3) A_k=kP+(1+k)Q であるから，求める値は P,Q の n-1 次の同次式である． PQ=QP=O であるから，
P^{n-1} と Q^{n-1} の項のみが残り，P^{n-1}=P と Q^{n-1}=Q から，
A_2A_3\cdots A_k=(2\times 3\times\cdots\times n)P+(3\times 4\times\cdots\times n)Q=n! P+\dfrac{(n+1)!}{2}Q=\begin{pmatrix} n! & 0 \\ \dfrac{(n+1)!}{2}-n! & \dfrac{(n+1)!}{2} \end{pmatrix}=n! \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{n-1}{2} & \dfrac{n+1}{2} \end{pmatrix}