2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

2021.02.02記

[うまい解答]

$y=x^2$ （ $-1\leqq x\leqq 1$ ）を $C$ とする． $\rm P$ を固定したときの $\rm R$ の軌跡は
$\rm P$ 中心に $C$ を $\dfrac{1}{3}$ に拡大した放物線弧 $D({\rm P})$ を描く．一方， $\rm Q$ を固定したときの $\rm R$ の軌跡は $\rm Q$ 中心に $C$ を $\dfrac{2}{3}$ に拡大した放物線弧 $E({\rm Q})$ を描く．

ここで $D({\rm P})$ を動かしてできる領域と $E({\rm Q})$ を動かしてできる領域が一致することに注意すると，
$D({\rm P})$ の左端，右端の軌跡はそれぞれ $E(-1,0)$ および $E(1,0)$ となり， $E({\rm Q})$ の左端，右端の軌跡はそれぞれ $D(-1,0)$ および $D(1,0)$ となる．
$E(-1,0):b=\dfrac{3}{2}a^2+a+\dfrac{1}{2}$ ，
$E(1,0):b=\dfrac{3}{2}a^2-a+\dfrac{1}{2}$ ，
$D(-1,0):b=3a^2+4a+2$ ，
$D(1,0):b=3a^2-4a+2$
であるから，求める軌跡は
$-1\leqq a\leqq-\dfrac{1}{3}$ のとき $a^2\leqq b \leqq 3a^2+4a +2$ ，
$-\dfrac{1}{3}\leqq a\leqq 0$ のとき $a^2\leqq b \leqq \dfrac{3}{2}a^2-a+\dfrac{1}{2}$ ，
$0\leqq a\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき $a^2\leqq b \leqq \dfrac{3}{2}a^2+a+\dfrac{1}{2}$ ，
$\dfrac{1}{3}\leqq a\leqq 1$ のとき $a^2\leqq b \leqq 3a^2-4a +2$
となり，これを図示すると次図

f:id:spherical_harmonics:20220317231546p:plain:w500

非線形写像の境界とヤコビアン

非線形変換による境界の像は，もとの図形の境界の像以外に，非線形変換のヤコビアンが0となる条件から導かれる曲線も登場することがある．本問では $y=x^2$ がそれである．

類題：1954年(昭和29年)東京大学-数学(解析Ｉ)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[大人の解答]

$f:(p,q)\mapsto (a,b)=\Bigl(\dfrac{2p+q}{3},\dfrac{2p^2+q^2}{3}\Bigr)$ という写像のヤコビ行列は
$\dfrac{\partial(a,b)}{\partial(p,q)}=\begin{pmatrix} 2/3 & 1/3 \\ 4p/3 & 2q/3 \end{pmatrix}$ だからヤコビアンは $\dfrac{4}{9}(q-p)$ となり，
$q=p=0$ の像が $b=a^2$ であることに注意し，境界の像が

$(a,b)=\Bigl(\dfrac{-2+q}{3},\dfrac{2+q^2}{3}\Bigr)$ （ $-1\leqq q\leqq 1$ ），
$(a,b)=\Bigl(\dfrac{2+q}{3},\dfrac{2+q^2}{3}\Bigr)$ （ $-1\leqq q\leqq 1$ ），
$(a,b)=\Bigl(\dfrac{2p-1}{3},\dfrac{2p^2+1}{3}\Bigr)$ （ $-1\leqq p\leqq 1$ ），
$(a,b)=\Bigl(\dfrac{2p+1}{3},\dfrac{2p^2-1}{3}\Bigr)$ （ $-1\leqq p\leqq 1$ ）
つまり，
$b=3a^2+4a +2$ （ $-1\leqq a\leqq-\dfrac{1}{3}$ ），
$b=3a^2-4a +2$ （ $\dfrac{1}{3}\leqq a\leqq 1$ ），
$b=\dfrac{3}{2}a^2+a+\dfrac{1}{2}$ （ $-1\leqq a\leqq\dfrac{1}{3}$ ），
$b=\dfrac{3}{2}a^2-a+\dfrac{1}{2}$ （ $-\dfrac{1}{3}\leqq a\leqq 1$ ）
となることに注意すると

$-1\leqq a\leqq-\dfrac{1}{3}$ のとき $a^2\leqq b \leqq 3a^2+4a +2$ ，
$-\dfrac{1}{3}\leqq a\leqq 0$ のとき $a^2\leqq b \leqq \dfrac{3}{2}a^2-a+\dfrac{1}{2}$ ，
$0\leqq a\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき $a^2\leqq b \leqq \dfrac{3}{2}a^2+a+\dfrac{1}{2}$ ，
$\dfrac{1}{3}\leqq a\leqq 1$ のとき $a^2\leqq b \leqq 3a^2-4a +2$
となり，これを図示すれば良い．