2016年(平成28年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2016年(平成28年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

面積で評価(2021.01.31)．

2021.01.27記
1942年(昭和17年)東京帝國大學(秋入学)農學部-數學[1] では， $\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^n$ が単調増加， $\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^{n+1}$ が単調減少であることを示している．ならば $\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)^{n+\frac{1}{2}}$ はどうか？というのが本問であり，結論から言うと単調減少となる．

[解答]

$f_k(x)$ $=\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^{x+k}$ $=(x+k)\log(x+1)-(x+k)\log x$ とおくと，
$f'_k(x)=\log(x+1)-\log x-\dfrac{x+k}{x(x+1)}$ ，
$f_k''(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{x(x+1)-(x+k)(2x+1)}{x^2(x+1)^2}$ $=-\dfrac{2x(x+1)-(x+k)(2x+1)}{x^2(x+1)^2}$ $=\dfrac{(2k-1)x+k}{x^2(x+1)^2}$
である．

(i) $k=0$ のとき， $f_0'’(x)=\dfrac{-1}{x(x+1)^2}\lt 0$ より $f_0'(x)$ は単調減少であり， $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f_0'(x)=\log 1-0=0$ だから $f_0'(x)\gt 0$ が成立し， $f_0(x)$ は単調増加．
よって $f_0(x)\lt \displaystyle \lim_{x\to\infty} f_0(x)=1$ となり $\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^{x}\lt e$

(ii) $k=\dfrac{1}{2}$ のとき， $f_{1/2}'’(x)=\dfrac{1}{2x(x+1)^2}\gt 0$ より $f_{1/2}'(x)$ は単調増加であり， $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f_{1/2}'(x)=\log 1-0=0$ だから $f_{1/2}'(x)\lt 0$ が成立し， $f_{1/2}(x)$ は単調減少．
よって $f_{1/2}(x)\gt \displaystyle \lim_{x\to\infty} f_{1/2}(x)$ $=\displaystyle \lim_{x\to\infty} \Bigl\{f_0(x)+\log \Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^{1/2}\Bigr\}$ $=1+0=1$ となり $\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^{x+1/2}\gt e$

平均値の定理から
$f_0'(x)=\dfrac{1}{x+c}-\dfrac{1}{x+1}\gt 0$ （∵ $0\lt c\lt 1$ ）
を示すこともできるが，逆向きは簡単にはいかなさそうである．

2021.01.31記
面積評価で一瞬で終る解法が

東大・入試数学50年の軌跡【1971年~2020年】 (大学への数学)

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メディア: 単行本（ソフトカバー）

に書いてあるので宣伝しておく．

2021.02.01記
2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の解説で上の面積評価と同等な評価を行なっている．
$\dfrac{2x}{a}\lt\displaystyle\int_{a-x}^{a+x}\dfrac{1}{t}dt\lt x\Bigl(\dfrac{1}{a+x}+\dfrac{1}{a-x}\Bigr)$
で $x\to \dfrac{1}{2}$ ， $a\to x+\dfrac{1}{2}$ と置き換えると
$\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}\lt\displaystyle\int_{x}^{x+1}\dfrac{1}{t}dt\lt \dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x}\Bigr)$
となるので
$\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}\lt\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)\lt \dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x}\Bigr)\lt \dfrac{1}{x}$
が言え，これから
$\log \Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^x\lt 1 \lt \log \Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^{x+\frac{1}{2}}$
が成立する．なお，東大・入試数学50年の軌跡では
$\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)\lt \dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x}\Bigr)$
ではなく，
$\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)\lt \dfrac{1}{x}$
を直接面積比較で導いている．

[うまい解答]

うまく面積評価を行うと（東大・入試数学50年の軌跡） $\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}\lt\displaystyle\int_{x}^{x+1}\dfrac{1}{t}dt\lt \dfrac{1}{x}$
となるので $\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{2}}\lt\log\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)\lt\dfrac{1}{x}$ が言え，これから $\log \Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^x\lt 1 \lt \log \Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigr)^{x+\frac{1}{2}}$
が成立する．