2011年(平成23年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2011年(平成23年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.16記
$\rm QR$ の垂直二等分線の式を求めるには、2点 $\rm Q，R$ からの距離が等しいことを利用して、平方の差を和と差の積に分解するのが早い．

[解答]

$\rm PQ=PR$ から
$\Bigl(\alpha-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\alpha^2-\dfrac{1}{4}\Bigr)^2$ $=\Bigl(\beta-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\beta^2-\dfrac{1}{4}\Bigr)^2$
つまり
$(\alpha+\beta-1)(\alpha-\beta)+\Bigl(\alpha^2+\beta^2-\dfrac{1}{2}\Bigr)(\alpha^2-\beta^2)=0$
となる． $\alpha\neq\beta$ により
$\alpha+\beta-2+2(\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2)=0$ …(i)
である．

$X=\dfrac{\alpha+\beta+1/2}{3}$ ， $Y=\dfrac{\alpha^2+\beta^2+1/4}{3}$
から $\alpha+\beta=3X-\dfrac{1}{2}$ ， $\alpha^2+\beta^2=3Y-\dfrac{1}{4}$
となるので(i) に代入して整理すると
$\Bigl(X-\dfrac{1}{6}\Bigr)\Bigl(Y+\dfrac{1}{12}\Bigr)=\dfrac{1}{9}$ （直角双曲線）
となる．

軌跡の限界を求める．
(i) をみたす $1/2$ とは異なる $\alpha，\beta$ （ $\alpha\neq\beta$ ）が存在するような条件を考えれば良い．(i) より、 $\alpha=\dfrac{1}{2}$ と $\beta=\dfrac{1}{2}$ が同値となるので、
$\alpha\neq\beta$ なら自動的にそれらは $\dfrac{1}{2}$ とも異なることになる．

よって(i) をみたす $\alpha，\beta$ （ $\alpha\neq\beta$ ）が存在するような条件を考えれば良い．

$\alpha+\beta=s$ ， $\alpha\beta=t$ とおくと(i)から
$s-2+2s(s^2-2t)=0$ つまり $2s^3+s-2=4st$ であり，異なる実数条件から $s^2\gt 4t$ となるので、
$\dfrac{2s^3+s-2}{s}\lt s^2$ つまり $\dfrac{s^3+s-2}{s}=\dfrac{(s-1)(s^2+s+2)}{s}\lt 0$
となり， $0\lt s\lt1$ が求める条件となる．このとき $\dfrac{1}{6}\lt X\lt \dfrac{1}{2}$ となる．

よって求める軌跡は
$\Bigl(x-\dfrac{1}{6}\Bigr)\Bigl(y+\dfrac{1}{12}\Bigr)=\dfrac{1}{9}$ （直角双曲線）， $\dfrac{1}{6}\lt x\lt \dfrac{1}{2}$ となる．

直感的には， $\rm P$ が $y$ 軸対称の放物線の右側にあるので $\alpha+\beta\gt 0$ であるから $X\gt\dfrac{1}{6}$ となり， $\rm G$ は放物線の内部だから $X\lt \dfrac{1}{2}$ である．

2020.10.18記
先ほど述べたように， $\alpha+\beta\gt 0$ であり， $\rm G$ は放物線の内部だから $\alpha+\beta\lt 1$ が成立する．つまり $0\lt \alpha+\beta\lt 1$ が成立する．

こでは， $\alpha+\beta$ が 0 より大きく1より小さい全ての実数値をちゃんととることを示す．

$f(x)=\Bigl(x-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2+\Bigl(x^2-\dfrac{1}{4}\Bigr)^2$ のグラフを考えれば， $\alpha\lt\dfrac{1}{2}$ に対して， $\beta\gt\dfrac{1}{2}$ が一意に決まり， $\beta$ は $\alpha$ の連続関数．このとき， $\alpha+\beta$ も $\alpha$ の連続関数で，