[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2020.10.16記

[解答]

(1) $\rm P$ から直線に下した垂線の足を $\rm H$ とすると、 $\rm P$ は直線 $a(x+1)-y=0$ の負領域にあるので、 ${\rm PH}=\dfrac{1-a}{\sqrt{a^2+1}}$ となる．

よって $S(a)=\dfrac{1}{2}{\rm PH}\cdot\sqrt{1-{\rm PH}^2}=\dfrac{\sqrt{2a}(1-a)}{a^2+1}$ となる．

(2) 円の割線でできる三角形の面積が最大となるのは、明らかに中心角が90度のときである（中心角を $\theta$ とすると面積は $\dfrac{1}{2}\sin\theta$ だから）．

よって ${\rm PH}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で最大となる．

点と直線の距離から $a=2\pm\sqrt{3}$ であるが， $0\lt a\lt 1$ より $a=2-\sqrt{3}$ となる．