2011年(平成23年)東京大学後期-総合科目ＩＩ[2]A - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] この問題では,割合や確率に関係したことがらについて考える．

A
A, B, C, D の4人が図1のように丸テーブルを囲んで座っており，それぞれ砂金を
$a[\mbox{kg}]$ ， $b[\mbox{kg}]$ ， $c[\mbox{kg}]$ ， $d[\mbox{kg}]$ ずつ持っているとする．ただし $a,b,c,d$ は正の定数である．今，4人の各々が，自分の砂金のうち， $p$ の割合を右隣の人に， $q$ の割合を左隣の人に分け与え，残りの $(1-p-q)$ の割合を自分のところに残す操作を同時に行うとする．(図1のように A の右隣は B， A の左隣は D である．）ここで， $p,q$ は， $0\leqq p\leqq1$ ， $0\leqq q\leqq 1$ ， $p+q\leqq 1$ をみたす定数である．この操作を何回も繰り返し，最初から数えて $n$ 回目 $（n=1,2,3,\ldots）$ の操作を終えた時点で A, B, C, D が持っている砂金の量を，それぞれ $a_n[\mbox{kg}]$ ， $b_n[\mbox{kg}]$ ， $c_n[\mbox{kg}]$ ， $d_n[\mbox{kg}]$ とする．ただし， $a_0=a$ ， $b_0=b$ ， $c_0=c$ ， $d_0=d$ とおく．なお，砂金は自由な割合に何回でも分割できるものとする．

図1(略)

(A-1) $a_{n+1}$ ， $b_{n+1}$ ， $c_{n+1}$ ， $d_{n+1}$ を， $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ ， $d_{n}$ を用いて表せ．

(A-2) $X_n=a_{n}+b_n+c_n+d_n（n=1,2,3,\ldots）$ とおく． $X_{n}$ は， $n$ によらないことを示せ．

(A-3) $Y_n=a_{n}+c_n-b_n-d_n（n=1,2,3,\ldots）$ とおく． $Y_{n+1}$ を， $Y_n$ を用いて表せ．

(A-4) $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ をどのように選んでも $a_n+c_n$ が $n\to\infty$ のとき必ず収束するための $p$ ， $q$ に関する必要十分条件を求めよ．また，そのときの $a_n+c_n$ の極限値を， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて表せ．

(A-5) $Z_n=(a_n-c_n)^2+(b_n-d_n)^2（n=1,2,3,\ldots）$ とおく．このとき，ある定数 $K$ を用いて $Z_{n+1}=KZ_n$ と表すことができる．定数 $K$ を求めよ．

(A-6) $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ をどのように選んでも $Z_n$ が $n\to\infty$ のとき必ず収束することを示せ．また，そのときの $Z_n$ の極限値を， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて表せ．

(A-7) $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ をどのように選んでも $a_n$ ， $b_n$ ， $c_n$ ， $d_n$ の各々が $n\to\infty$ のとき必ず収束するための $p$ ， $q$ に関する必要十分条件を求めよ．また，そのときの $a_n$ の極限値を， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて表せ．

2021.02.15記

[解答]