[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2012年(平成24年)東京大学前期-数学(文科)[2]

2022.03.15記

[解答]
\rm AC の傾きが -\dfrac{1}{t} であるから，\rm DC の傾きは \dfrac{1}{t} である．

よって \rm D は y=1-x と y=\dfrac{1}{t}(x-t) の交点\left(\dfrac{2t}{1+t},\dfrac{1-t}{1+t}\right) となり，
\triangle{\rm ACD}=\dfrac{1}{2}(\mbox{横幅})\times(C\mbox{からの高さ})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t}\cdot(1-t)=\dfrac{t(1-t)}{1+t}
\dfrac{t(1-t)}{1+t}=3-\left\{(1+t)+\dfrac{2}{1+t}\right\}
であり，AM-GM 不等式から
(1+t)+\dfrac{2}{1+t}\geqq 2\sqrt{2}
（等号成立は t=\sqrt{2}-1 で 0\lt t\lt 1 の範囲内）
だから，\triangle{\rm ACD} の最大値は 3-2\sqrt{2}