[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2004年(平成16年)東京大学前期-数学(文科)

2024.02.18記

[1] $xy$ 平面の放物線 $y=x^2$ 上の3点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ が次の条件をみたしている．

$\triangle\mbox{PQR}$ は一辺の長さ $a$ の正三角形であり，点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を通る直線の傾きは $\sqrt{2}$ である．

このとき， $a$ の値を求めよ．

[2] $a$ を正の実数とする．次の2つの不等式を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体からなる領域を $D$ とする．
$y\geqq x^2$ ，
$y\leqq -2x^2+3ax+6a^2$
領域 $D$ における $x+y$ の最大値，最小値を求めよ．

[3] 関数 $f(x)$ ， $g(x)$ ， $h(x)$ を次で定める．
$f(x)=x^3-3x$ ，
$g(x)=\{ f(x) \}^3-3f(x)$ ，
$h(x)=\{ g(x) \}^3-3g(x)$
このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $a$ を実数とする． $f(x)=a$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

(2) $g(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

(3) $h(x)=0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ．

[4] 片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が $3$ 枚ある．この3枚の板を机の上に横に並べ，次の操作を繰り返し行う．

さいころを振り，出た目が $1$ ， $2$ であれば左端の板を裏返し， $3$ ， $4$ であればまん中の板を裏返し， $5$ ， $6$ であれば右端の板を裏返す．たとえば，最初，板の表の色の並び方が「白白白」であったとし， $1$ 回目の操作で出たさいころの目が $1$ であれば，色の並び方は「黒白白」となる．さらに $2$ 回目の操作を行って出たさいころの目が $5$ であれば，色の並び方は「黒白黒」となる．

(1) 「白白白」から始めて， $3$ 回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ．

(2) 「白白白」から始めて， $n$ 回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」または「白黒白」または「白白黒」となる確率を $p_n$ とする． $p_{2k+1}$ （ $k$ は自然数）を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

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