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東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2003年(平成15年)東京大学前期-数学(文科)

2024.02.18記

[1] $a$ ， $b$ ， $c$ を実数とし， $a\neq0$ とする．
2次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ が次の条件
(A)，(B)を満たすとする．

(A) $f(-1)=-1$ ， $f(1)=1$ ， $f'(1)\leqq 6$

(B) $-1\leqq x\leqq 1$ を満たすすべての $x$ に対し， $f(x)\leqq 3x^2-1$

このとき，積分 $I=\displaystyle\int_{-1}^{1} {(f'(x))}^2 \,dx$ の値のとりうる範囲を求めよ．

[2] $a$ ， $b$ を実数とする．次の $4$ つの不等式を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体
からなる領域を $D$ とする．
$x+3y \geqq a$ ，
$3x+y \geqq b$ ，
$x\geqq0$ ，
$y\geqq0$

領域 $D$ における $x+y$ の最小値を求めよ．

[3] 2次方程式 $x^2-4x+1=0$ の $2$ つの実数解のうち大きいものを $\alpha$ ，小さいものを $\beta$ とする． $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，… に対し， $s_n=\alpha^n+\beta^n$ とおく．

(1) $s_1$ ， $s_2$ ， $s_3$ を求めよ．また， $n\geqq 3$ に対し， $s_n$ を $s_{n-1}$ と $s_{n-2}$ で表せ．

(2) $s_n$ は正の整数であることを示し， $s_{2003}$ の1の位の数を求めよ．

(3) $\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数の $1$ の位の数を求めよ．

[4] さいころを振り，出た目の数で $17$ を割った余りを $X_1$ とする．ただし， $1$ で割った余りは $0$ である．

さらにさいころを振り，出た目の数で $X_1$ を割った余りを $X_2$ とする．以下同様にして， $X_n$ が決まればさいころを振り，出た目の数で $X_n$ を割った余りを $X_{n+1}$ とする．

このようにして， $X_n$ ， $n=1$ ， $2$ ，… を定める．

(1) $X_3=0$ となる確率を求めよ．

(2) 各 $n$ に対し， $X_n=5$ となる確率を求めよ．

(3) 各 $n$ に対し， $X_n=1$ となる確率を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

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