2012年(平成24年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2012年(平成24年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

球帽，球冠の体積
回転放物面が円柱の体積を半分

2022.03.14記

[解答]

$y=\dfrac{1}{2}x^2$ と $\dfrac{x^2}{4}+4y^2=\dfrac{1}{8}$ の交点の座標が $\left(\pm\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{8}\right)$ であることに注意すると，
$V_1=2\pi\displaystyle\int_{0}^{1/2} \left\{\left(\dfrac{1}{32}-\dfrac{x^2}{16}\right)-\dfrac{x^4}{4}\right\} dx$ $=2\pi \Bigl[ \dfrac{x}{32}-\dfrac{x^3}{48}-\dfrac{x^5}{20}\Bigr]_{0}^{1/2}$ $=\dfrac{11\pi }{480}$
となる．また，
$V_2=\pi\displaystyle\int_{0}^{1/4\sqrt{2}} x^2 dy$ $=\pi\displaystyle\int_{0}^{1/8} 2y\, dy$ $+\pi\displaystyle\int_{1/8}^{1/4\sqrt{2}} \left(\dfrac{1}{2}-16y^2\right) dy$
$=\pi\Bigl[y^2\Bigr]_{0}^{1/8}$ $+\pi\Bigl[\dfrac{y}{2}-\dfrac{16y^3}{3}\Bigr]_{1/8}^{1/4\sqrt{2}}$ $=\dfrac{1}{64}\pi$ $+\dfrac{\sqrt{2}}{24}\pi-\dfrac{5}{96}\pi$ $=\dfrac{16\sqrt{2}-14}{384}\pi$
となる．

(2) $\dfrac{V_2}{V_1}-1=\dfrac{5(8\sqrt{2}-7)}{22}-1$ $=\dfrac{40\sqrt{2}-57}{22}$
であり，
$(40\sqrt{2})^2=3200$ ，
$57^2=3600-360+9=3249$
であるから， $40\sqrt{2}-57\lt 0$
となるので $\dfrac{V_2}{V_1}\lt 1$ となる．

楕円を円に直して考えた方が慣れている人も多いだろう．
そのとき， $V_1$ ， $V_2$ の拡大量が異なることに注意すること．

[別解]

図形を $x$ 軸方向に $\sqrt{2}$ 倍， $y$ 軸方向に $4\sqrt{2}$ 倍拡大したとき，
$V_1$ ， $V_2$ はそれぞれ $32\sqrt{2}$ 倍， $8\sqrt{2}$ 倍となる．このとき $(x,y)\mapsto (X,Y)=(\sqrt{2}x,4\sqrt{2}y)$ とおくことにより， $S$ は

$Y\geqq \sqrt{2}X^2$ ， $X^2+Y^2\leqq 1$

によって定まる領域 $S'$ にうつる．

$Y=\sqrt{2}X^2$ と $X^2+Y^2=1$ の交点の座標が $\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ であることに注意すると，
$32\sqrt{2} V_1=2\pi\displaystyle\int_{0}^{1/\sqrt{2}} \{(1-X^2)-2X^4\} dX$ $=2\pi \Bigl[ X-\dfrac{X^3}{3}-\dfrac{2X^5}{5}\Bigr]_{0}^{1/\sqrt{2}}$ $=\dfrac{44\sqrt{2}\pi }{60}$
により，
$V_1=\dfrac{11\pi }{480}$
となる．また，
$8\sqrt{2} V_2=\pi\displaystyle\int_{0}^{1} X^2 dY$ $=\pi\displaystyle\int_{0}^{1/\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2}}Y dY$ $+\pi\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^1 (1-Y^2) dY$
$=\pi\Bigl[\dfrac{Y^2}{2\sqrt{2}}\Bigr]_{0}^{1/\sqrt{2}}$ $+\pi\Bigl[Y-\dfrac{Y^3}{3}\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^1$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{8}\pi$ $+\dfrac{2}{3}\pi-\dfrac{5\sqrt{2}}{12}\pi$ $=\dfrac{16-7\sqrt{2}}{24}\pi$
により， $V_2=\dfrac{16\sqrt{2}-14}{384}\pi$ となる．

$V_2$ について，球帽，球冠の体積や、回転放物面が円柱の体積を半分にすることを知っていると，

[大人の解答]

$8\sqrt{2}V_2$ $=\dfrac{4\pi}{3}\times\dfrac{1-1/\sqrt{2}}{2}$ ${}-\dfrac{1}{3}\cdot\pi\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3$ $+\dfrac{1}{2}\cdot\pi\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3$
$=\dfrac{2-\sqrt{2}}{3}\pi+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi$ $=\dfrac{16-7\sqrt{2}}{24}\pi$
により， $V_2=\dfrac{16\sqrt{2}-14}{384}\pi$ となる．

のように計算できる．