[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022.03.14記

[解答]

(1) 連続する自然数 $N,N+1$ について
$N^2\lt N(N+1)\lt (N+1)^2$
だから
$N\lt\sqrt{N(N+1)}\lt N+1$
となり， $N(N+1)$ は2乗数ではない．

(2) 連続する自然数を $N,N+1,\ldots,N+n-1$ とすると，
$N^n\lt N(N+1)\cdots(N+n-1)\lt (N+n-1)^n$
だから，もし $N(N+1)\cdots(N+n-1)$ が $n$ 乗数であるとすると，
$N(N+1)\cdots(N+n-1)=(N+k)^n$
なる自然数 $k$ （ $1\leqq k\leqq n-2$ ）が存在する．