2016年(平成28年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2016年(平成28年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.22記
巴戦の確率

始めてみたのは数セミだったかな。かなり昔の話。次の解法は良く知られている．

1試合目で勝った人が優勝する確率を $p$ ，1試合目で負けた人が優勝する確率を $q$ ，1試合目で控えていた人が優勝する確率を $r$ とすると $p=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}r$ ， $q=\dfrac{1}{2}r$ ， $r=\dfrac{1}{2}p$ となり，これを解くと $p=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}p$ となり， $p=\dfrac{4}{7}$ ， $r=\dfrac{2}{7}$ ， $q=\dfrac{1}{7}$ が成立する．

よって，A,Bが優勝する確率は $\dfrac{5}{14}$ ，Cが優勝する確率は $\dfrac{4}{14}$ となり，Cが少し不利である．

[解答]

(1) 2連勝したら優勝が決まるので，優勝が決まらない限り，対戦カードは
AB,BC,CA,…の繰り返しか，AB,CA,BC,…の繰り返しである．

前者の場合は $n=3k+1（k\geqq 1）$ 試合目で A の優勝が起き，その確率は $\dfrac{1}{2^{n}}$ であり，後者の場合は $n=3k+2（k\geqq 0）$ 試合目で A の優勝が起き，その確率は $\dfrac{1}{2^{n}}$ である．

よって， $n$ が3の倍数のとき $0$ で，それ以外のとき $\dfrac{1}{2^n}$ である．

(2) Aの対戦相手が B で優勝するのは前者の場合であるから，その確率は
$\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^7}+\cdots+\dfrac{1}{2^{3m-2}}$ $=\dfrac{8}{7}\Bigl(\dfrac{1}{2^4}-\dfrac{1}{2^{3m+1}}\Bigr)$ $=\dfrac{2^{3m}-8}{7\cdot 2^{3m+1}}$ ，
Aの対戦相手が C で優勝するのは後者の場合であるから，その確率は
$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^5}+\cdots+\dfrac{1}{2^{3m-1}}$ $=\dfrac{8}{7}\Bigl(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{2^{3m+2}}\Bigr)$ $=\dfrac{4\cdot 2^{3m}-4}{7\cdot 2^{3m+1}}$ ，
であるから，求める確率は
$\dfrac{2^{3m}-8}{(2^{3m}-8)+(4\cdot 2^{3m}-4)}$ $=\dfrac{2^{3m}-8}{5\cdot 2^{3m}-12}$
となる．