[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021.01.26記

[解答]
(1) $\rm OQ$ を中心に $\rm P$ を一回転させることにより， $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ， $30^{\circ}\leqq\theta\leqq150^{\circ}$

(2) $\rm OP$ は $z$ 軸とのなす角度が60度である母線の長さが1の円錐面を $x$ 軸のまわりに一回転させたものである．円錐面の端点が単位球面上にあることに注意すると，単位球から頂角30度の円錐を2個除いたものとなる．

球の表面積が球の切り口の厚さに比例することから， $K$ の単位球面上にある部分の面積は全体の $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから，その体積も単位球の $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となり $\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{3}$