[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1993年(平成5年)東京大学後期-数学

2024.01.07記

[1] $n$ を $3$ 以上の自然数とする． $xy$ 平面上，原点を中心とし，点 $(1，0)$ をひとつの頂点にもつ正 $n$ 角形を ${\rm P}$ とする．

(1) ${\rm P}$ の像が ${\rm P}$ に完全に重なるような1次変換を表わす行列をすべて求めよ．

(2) (1)で求めた行列すべての和を求めよ．

[2] $xy$ 平面において，直線 $l$ と点 ${\rm A}$ の距離を $d(l,{\rm A})$ と書くことにする．さらに，相異なる3点 ${\rm A}=(x_1,y_1)，{\rm B}=(x_2,y_2)，{\rm C}=(x_3,y_3)$ が与えられたとき $f(l)=\{d(l,{\rm A})\}^2+\{d(l,{\rm B})\}^2+\{d(l,{\rm C})\}^2$ とおく．

(1)ある与えられた直線に平行な直線のうち， $f(l)$ を最小にする直線 $l_0$ は三角形 ${\rm ABC}$ の重心を通ることを示せ．

(2) 異なる 3 本の直線が $f(l)$ を最小にするならば，三角形 ${\rm ABC}$ は正三角形であることを示せ．

[3] 放物線の一部 $y=x^2$ ， $0\leqq x\leqq 2$ を $y$ 軸のまわりに回転してできる回転体型の容器に水を満たし，このなかに，半径 $r$ の鉛の球を，それが容器につかえて止るまでゆっくり沈めた．ただし，鉛直線を $y$ 軸とする。このとき次の問いに答えよ．

(1) もとの水面の高さから球の中心の高さを引いた差 $s$ を $r$ の関数として表わせ．

(2) あふれ出る水の体積を最大にする $r$ の値を求めよ．

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