2008年(平成20年)山梨大学医学部後期-数学[1](2) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.11.03記

[1](2) 座標平面上で原点を中心とする角 $\theta$ の回転移動を表す2次正方行列を $R(\theta)$ とし，直線 $\Bigl(\sin\dfrac{\theta}{2}\Bigr)x-\Bigl(\cos\dfrac{\theta}{2}\Bigr)y=0$ に関する対称移動を表す2次正方行列を $S(\theta)$ とすると，
$R(\theta)=\begin{pmatrix} \textrm{［エ］} & \textrm{［オ］} \\ \textrm{［カ］} & \textrm{［キ］} \end{pmatrix}$ ， $S(\theta)=\begin{pmatrix} \textrm{［ク］} & \textrm{［ケ］} \\ \textrm{［コ］} & \textrm{［サ］} \end{pmatrix}$
である．このとき任意の実数 $\alpha$ ， $\beta$ に対して，等式 $R(\alpha)R(\beta)=\textrm{［シ］}$ ， $R(\alpha)S(\beta)=\textrm{［ス］}$ ， $S(\alpha)R(\beta)=\textrm{［セ］}$ ， $S(\alpha)S(\beta)=\textrm{［ソ］}$ が成り立つ．ただし，空欄 $\textrm{［シ］}$ から $\textrm{［ソ］}$ には $R(\alpha+\beta)$ ， $R(\alpha-\beta)$ ， $S(\alpha+\beta)$ ， $S(\alpha-\beta)$ のいずれかが入るものとする．

本問のテーマ

(むりやり)クリフォード代数

2022.11.03記

クリフォード代数

2007年(平成19年)山梨大学医学部後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

参照のこと．

穴埋めなので普通に $(1,0)$ ， $(0,1)$ の像を追跡すればあっという間に終わるが，代数系の理解のための解答をしておく．

[大人の解答]
$R(\theta)=(\cos\theta)E+(\sin\theta)F$
であり， $H=FG=-GF$ により
$S(\theta)=(\cos\theta)G+(\sin\theta)H$ $=(\cos\theta)G+(\sin\theta)FG=R(\theta)G$ ，
$S(\theta)=(\cos\theta)G-(\sin\theta)GF=GR(-\theta)$
である．

よって
$R(\alpha)R(\beta)$
$=\{(\cos\alpha)E+(\sin\alpha)F\}\{(\cos\beta)E+(\sin\beta)F\}$
$=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)E+(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)F$
$=(\cos(\alpha+\beta)) E+(\sin(\alpha+\beta))F$ $=R(\alpha+\beta)$ ，