2020年(令和2年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.14記

[3] $-1 \leqq t \leqq 1$ を満たす実数 $t$ に対して，
$x(t)=(1+t)\sqrt{1+t}$
$y(t)=3(1+t)\sqrt{1-t}$
とする．座標平面上の点 $\mbox{P}(x(t), \, y(t))$ を考える．

(1) $-1\lt t\leqq1$ における $t$ の関数 $\displaystyle\frac{y(t)}{x(t)}$ は単調に減少することを示せ．

(2) 原点と $\rm P$ の距離を $f(t)$ とする． $-1 \leqq t \leqq 1$ における $t$ の関数 $f(t)$ の増減を調べ，最大値を求めよ．

(3) $t$ が $-1 \leqq t \leqq 1$ を動くときの $\rm P$ の軌跡を $C$ とし， $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域を $D$ とする．原点を中心として $D$ を時計回りに ${90}^\circ$ 回転させるとき， $D$ が通過する領域の面積を求めよ．

2020.02.26記

[別解]
(1) $\dfrac{y(t)}{x(t)}=3\sqrt{\dfrac{2}{1+t}-1}$ は単調減少となる．

(2) $f(t)\geqq 0$ であるから $f(t)$ の増減と $\{f(t)\}^2$ の増減は一致する．

$\{f(t)\}^2=(10-8t)(t+1)^2$ の増減を考えると $-1\leqq t\leqq 1/2$ で単調増加で $t=1/2$ で最大値 $f(1/2)=\sqrt{\dfrac{27}{2}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ をとり， $1/2\leqq t\leqq 1$ で単調減少．

(3) $-1\leqq x \leqq 1$ で $x(t)=(1+t)^{3/2}$ は単調増加である．
$y(t)\geqq 0$ は $t=-1,1$ で 0 であり $-1\leqq t \leqq 1/3$ で単調増加，
$1/3\leqq t \leqq 1$ で単調減少であるから，(2)とあわせて求める面積は $\rm D$ の面積に半径 $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ の四分円の面積を足したものとなる．ここで $\rm D$ の面積は， $x(t)$ が $-1\leqq t\leqq 1$ で単調増加で $y(t)\geqq 0$ であることに注意すると，
$\displaystyle\int_{-1}^{1} y(t)\dfrac{dx}{dt} dt = \int_{-1}^{1} 3(1+t)\sqrt{1-t}\cdot\dfrac{3}{2}\sqrt{1+t}dt$
$= \displaystyle\dfrac{9}{2}\int_{-1}^{1} (1+t)\sqrt{1-t^2}dt$
$= \displaystyle\dfrac{9}{2}\int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2}dt$ （奇関数の積分は0）
$=\dfrac{9}{2}\times\dfrac{\pi}{2}$ （半円の面積）
$=\dfrac{9}{4}\pi$
となる．よって求める面積は $\dfrac{9}{4}\pi+\pi\times\dfrac{27}{2}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{45}{8}\pi$ である．

2020.08.19追記

[別解]
(1) $t=\cos2\theta$ とおくと $t:-1\to 1$ で $\theta:\dfrac{\pi}{2}\to 0$ であるから $t$ は $\theta$ について単調減少．
$x(t)=2\sqrt{2}\cos^3\theta$ ， $y(t)=6\sqrt{2}\cos^2\theta\sin\theta$ だから， $\dfrac{y(t)}{x(t)}=3\tan\theta$ となり，これは $\theta$ について単調増加だから， $t$ について単調減少．

(2) $f(t)=2\sqrt{2}\cos^2\theta\sqrt{9-8\cos^2\theta)}$ で $\cos^2\theta=u$ とおくと、3次関数 $u^2\Bigl(\dfrac{9}{8}-u\Bigr)$ は $u=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{8}=\dfrac{3}{4}$ で極大かつ最大となり， $0\leqq u\leqq\dfrac{3}{4}$ で単調増加， $\dfrac{3}{4}\leqq u\leqq 1$ で単調減少．

このとき $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ だから $f(t)$ の最大値は $2\sqrt{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ ．

$t$ の言葉に直すと， $-1\leqq t\leqq 1/2$ で単調増加、 $t=1/2$ で最大値 $f(1/2)=\sqrt{\dfrac{27}{2}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ 、 $1/2\leqq t\leqq 1$ で単調減少，となる．

(3) 求める面積は、 $\rm D$ の面積に半径 $\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$ の四分円の面積 $\dfrac{27}{8}\pi$ を足したもの．

Wallis の公式から
$\displaystyle\int_{\pi/2}^0 y\dfrac{dx}{d\theta}d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi/2} 72(\cos^4\theta-\cos^6\theta)d\theta$ $=72\Bigl(1-\dfrac{5}{6}\Bigr)\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ $=\dfrac{9}{4}\pi$
だから，求める面積は $\dfrac{9}{4}\pi+\pi\times\dfrac{27}{2}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{45}{8}\pi$ 　

$\dfrac{dx}{d\theta}=-y$ になっているけど、使い道がなかった。