2020年(令和2年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.14記

[1] $a\gt 0$ ， $b \gt 0$ とする．座標平面上の曲線 $C: y=x^3-3ax^2+b$ が，以下の2条件を満たすとする．

条件1：Cは $x$ 軸に接する．

条件2： $x$ 軸とCで囲まれた領域（境界は含まない）に， $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点がちょうど1個ある．

$b$ を $a$ で表し， $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．

[2] 座標平面上に8本の直線
$x=a(a=1，2，3，4)$ ， $y=b(b=1，2，3，4)$
がある．以下，16個の点
$(a，\, b)(a=1，2，3，4，b=1，2，3，4)$
から異なる5個の点を選ぶことを考える．

(1)次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りあるか．

上の8本の直線のうち，選んだ点を1個も含まないものがちょうど2本ある．

(2)次の条件を満たす5個の点の選び方は何通りあるか．

上の8本の直線は，いずれも選んだ点を少なくとも1個含む．

[3] $\rm O$ を原点とする座標平面において，放物線 $y=x^2-2x+4$ のうち $x\geqq0$ を満たす部分を $C$ とする．

(1) 点 $\rm P$ が $C$ 上を動くとき， $\rm O$ を端点とする半直線 $\rm OP$ が通過する領域を図示せよ．

(2) 実数 $a$ に対して，直線 $l:y=ax$ を考える．次の条件を満たす $a$ の範囲を求めよ．

$C$ 上の点 $\rm A$ と $l$ 上の点 $\rm B$ で，3点 $\rm O，A，B$ が正三角形の3頂点となるものがある．

[4] $n$ ， $k$ を， $1 \leqq k \leqq n$ を満たす整数とする． $n$ 個の整数
$2^m (m=0, \, 1, \, 2, \, \cdots\cdots, \, n-1)$
から異なる $k$ 個を選んでそれらの積をとる． $k$ 個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる ${}_n\mbox{C}_k$ 個の整数の和を $a_{n,k}$ とおく．例えば，
$a_{4,3}$ $=2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2+2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^3$ $+2^0 \cdot 2^2 \cdot 2^3$ $+2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3$ $=120$
である．

(1) 2以上の整数 $n$ に対し， $a_{n,2}$ を求めよ．

(2) 1以上の整数 $n$ に対し， $x$ についての整式
$f_n(x)=1+a_{n,1}x+a_{n,2}x^2+\cdots\cdots+a_{n,n}x^n$
を考える． $\displaystyle\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}$ と $\displaystyle\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(2x)}$ を $x$ についての整式として表せ．

(3) $\displaystyle\frac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}$ を $n$ ， $k$ で表せ．

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