[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2020年(令和2年)東京大学数学(文科)[3]

2020.10.14記

[3] $\rm O$ を原点とする座標平面において，放物線 $y=x^2-2x+4$ のうち $x\geqq0$ を満たす部分を $C$ とする．

(1) 点 $\rm P$ が $C$ 上を動くとき， $\rm O$ を端点とする半直線 $\rm OP$ が通過する領域を図示せよ．

(2) 実数 $a$ に対して，直線 $l:y=ax$ を考える．次の条件を満たす $a$ の範囲を求めよ．

$C$ 上の点 $\rm A$ と $l$ 上の点 $\rm B$ で，3点 $\rm O，A，B$ が正三角形の3頂点となるものがある．

2020.02.27記

[解答]
(1) $C$ の原点を通る接線は $y=2x$ だから求める領域は「 $y\geqq 2x$ かつ $x\geqq 0$ 」となる．

(2) (1) の領域を原点中心に $\pm 60^{\circ}$ 回転した領域を考えれば良いので，tan の加法定理から
$\dfrac{-8-5\sqrt{3}}{11}\leqq a\leqq -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ， $\dfrac{-8＋5\sqrt{3}}{11}\leqq a\leqq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
となる．