2020年(令和2年)東京大学数学(文科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.14記

[1] $a\gt 0$ ， $b \gt 0$ とする．座標平面上の曲線 $C: y=x^3-3ax^2+b$ が，以下の2条件を満たすとする．

条件1：Cは $x$ 軸に接する．

条件2： $x$ 軸とCで囲まれた領域（境界は含まない）に， $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点がちょうど1個ある．

$b$ を $a$ で表し， $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．

2020.02.27記

[解答]
$C$ は $x$ 軸に接し， $x$ 軸と $C$ で囲まれる領域が存在するので $y=f(x)=(x-p)^2(x-q)$ なる実数 $p,q（p\neq q）$ が存在する．よって $3a=2p+q, p^2+2pq=0, b=-p^2q$ が成立する．

第3式で $b>0$ であるから $p\neq 0, q<0$ であり，第2式から $p=-2q$ となるので，第1式から $a=-q$ となり $b=-4q^3=4a^3$ となる．これは $a>0$ をみたしている．

このとき $y=(x+a)(x-2a)^2$ が成立する．

さて， $x$ 軸と $C$ で囲まれた領域の内部は $y>0$ の範囲にあり，原点が $C$ の境界に含まれることから，条件2をみたす格子点は $(0,1)$ である．よって $1\lt f(0)=(0+a)(0-2a)^2=4a^3\leqq 2$ ，つまり $\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} \lt a\leqq\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ が必要である．

このとき，この範囲に他の格子点が含まれないことを示すが， $C$ と x 軸の共通部分は $-a\leqq x\leqq 2a$ であり， $-1\lt -\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \leqq -a$ ， $1\lt \sqrt[3]{2}\lt 2a\leqq\sqrt[3]{4}$ であるから， $(1,1)$ が含まれなければ十分であり，その条件は $1\leqq f(1)=(1+a)(1-2a)^2$ つまり $0\lt a\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である．