2023年(令和5年)早稲田大学理工学部-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.12.20記

[1] 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し，取り出した玉を袋に戻した上で，取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す．以下の問に答えよ．

(1) 初めに袋の中に赤玉が1個，黒玉が1個入っているとする． $n$ 回の操作を行ったとき，赤玉をちょうど $k$ 回取り出す確率を $P_n(k)$
（ $k=0，1，2，\ldots，n$ ）とする． $P_1(k)$ と $P_2(k)$ を求め，さらに $P_n(k)$ を求めよ．

(2) 初めに袋の中に赤玉が $r$ 個，黒玉が $b$ 個（ $r\geqq 1，b\geqq 1$ ）入っているとする． $n$ 回の操作を行ったとき， $k$ 回目に赤玉が，それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率を $Q_n(k)$ （ $k=0，1，2，\ldots，n$ ）とする． $Q_n(k)$ は $k$ によらないことを示せ．

本問のテーマ

ポリアの壺

2023.12.20記
(1) はポリアの壺
(2) はポリアの壺に囚われると難しくなる．

[解答]
(1) 初めに袋の中に赤玉が1個，黒玉が1個入っているので $P_1(0)=P_1(1)=\dfrac{1}{2}$ である．
$P_2(0)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ （黒黒），
$P_2(1)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$ （黒赤+赤黒），
$P_2(2)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ （赤赤）
である．

$k$ によらず $P_n(k)=\dfrac{1}{n+1}$ であることを帰納法で示す．

$n=1$ のときは既に示した．

$n=m$ のときの成立を仮定する．

$P_{m+1}(0)=P_m(0)\cdot\dfrac{m+1}{m+2}=\dfrac{1}{m+1}\cdot\dfrac{m+1}{m+2}=\dfrac{1}{m+2}$ ，
$P_{m+1}(k)=P_m(k-1)\cdot\dfrac{k}{m+2}+P_m(k)\cdot\dfrac{m+2-(k+1)}{m+2}$ $=\dfrac{1}{m+1}\cdot\dfrac{m+1}{m+2}=\dfrac{1}{m+2}$ ，
（ $k=1,\ldots,m$ ）
$P_{m+1}(m+1)=P_m(m)\cdot\dfrac{m+1}{m+2}=\dfrac{1}{m+1}\cdot\dfrac{m+1}{m+2}=\dfrac{1}{m+2}$