2023年(令和5年)早稲田大学理工学部-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.12.20記

[1] $n$ を自然数として，整式 $(3x+2)^n$ を $x^2+x+1$ で割った余りを $a_nx+b_n$ とおく．以下の問に答えよ．

(1) $a_n$ と $b_n$ を，それぞれ $a_n$ と $b_n$ を用いて表せ．

(2) 全ての $n$ に対して， $a_n$ と $b_n$ は $7$ で割り切れないことを示せ．

(3) $a_n$ と $b_n$ を $a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ で表し，全ての $n$ に対して， $2$ つの整数 $a_n$ と $b_n$ は互いに素であることを示せ．

本問のテーマ

2023.12.20記
$x^2+x+1$ をみて $\omega$ を思い出したい所だが，整数問題なのでそっと仕舞っておこう．

[解答]
(1) $(3x+2)(a_nx+b_n)$ $=3a_nx^2+3b_nx+2a_nx+2b_n$ $=(-a_n+3b_n)x+(-3a_n+2b_n)$
であるから， $a_{n+1}=-a_n+3b_n$ ， $b_{n+1}=-3a_n+2b_n$ となる．

(2) $a_1=3$ ， $b_1=2$ ， $a_2=3$ ， $b_2=-5$ であるから，mod 7 で $a_n\equiv 3$ ， $b_n\equiv 2$ と予想できる．

$n=1$ のとき $a_1=3$ ， $b_1=2$ より成立．

$n=k$ のとき成立すると仮定すると
$a_{n+1}=-a_n+3b_n\equiv -3+6=3$ ，
$b_{n+1}=-3a_n+2b_n\equiv -9+4=-5\equiv 2$
となり $n=k+1$ のときも成立する．よって数学的帰納法により任意の自然数 $n$ に対してmod 7 で $a_n\equiv 3$ ， $b_n\equiv 2$ となり，題意は示された．

(3) (1) より $a_n=\dfrac{2a_{n+1}-3b_{n+1}}{7}$ ， $b_n=\dfrac{3a_{n+1}-b_{n+1}}{7}$ である．

$a_n$ と $b_n$ の最大公約数を $g_n$ とおく（ $n=1,2,\ldots$ ）と(2) より $g_n$ と 7 は互いに素である．

$7a_n=2a_{n+1}-3b_{n+1}$ ， $7b_n=3a_{n+1}-b_{n+1}$ は $g_{n+1}$ で割り切れて $g_{n+1}$ と 7 は互いに素であるから， $a_n$ と $b_n$ は $g_{n+1}$ で割り切れるので，
$g_{n}$ は $g_{n+1}$ を約数にもつことが任意の自然数 $n$ について言える．

よってこれを繰り返すと，任意の自然数 $n$ について $g_n$ は $g_1=1$ （3と2の最大公約数）の約数であることが言え，よって全ての $n$ に対して， $g_n=1$ ，つまり $2$ つの整数 $a_n$ と $b_n$ は互いに素である．