[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1915年(大正4年)東京帝國大學理科大學物理科-數學[1]

[1] \dfrac{d^4}{dt^4}(e^{\alpha t}\cos\beta t) 及ビ \dfrac{d^4}{dt^4}(e^{\alpha t}\sin\beta t) ヲ見出セ．

2020.03.04記

\gamma=\alpha+i\beta(iは虚数単位)とおくと
e^{\alpha t}\cos\beta t)+i(e^{\alpha t}\sin\beta t)=e^{\gamma t}
だから、
\dfrac{d^4}{dt^4}e^{\gamma t}=\gamma^4e^{\gamma t}
となる。この実部と虚部から
\dfrac{d^4}{dt^4}(e^{\alpha t}\cos\beta t)=e^{\alpha t}\{(\alpha^4-6\alpha^2\beta^2+\beta^4)\cos\beta t-4\alpha\beta(\alpha^2-\beta^2)\sin\beta t\}
\dfrac{d^4}{dt^4}(e^{\alpha t}\sin\beta t)=e^{\alpha t}\{(\alpha^4-6\alpha^2\beta^2+\beta^4)\sin\beta t+4\alpha\beta(\alpha^2-\beta^2)\cos\beta t\}