1942年(昭和17年)東京帝國大學(春入學)理學部-數學[3]

2020.05.20記

[3] 空間ニ於ケル直交座標ノ $z$ 軸上ノ點 $\rm P$ ヲ一端トシ，コレニ垂直ナル定長ノ動線分 $\rm PQ$ アリ．原點ヨリ $\rm P$ マデノ距離及ビ $x$ 軸ト $\rm PQ$ トノナス角ハ夫々時間ニ比例スルモノトスル．與ヘラレタル時間内ニコノ線分ガ掃過スル表面積ヲ計算セヨ．

2020.05.20記
自分で文字を設定し，その文字が最後まで残る問題である。
求める面積は時間に比例することがわかる。

[解答] 線分 $\rm PQ$ の長さを $l$ とし、時刻 $t$ における $\rm P$ の座標を $(0,0,vt)$ とし， $\rm Q$ の座標を $(l\cos \omega t,l\sin\omega t,vt)$ とする。このとき，曲面上の点 $(x,y,z)$ とすると、 $z=kt,\,\dfrac{y}{x}=\tan\omega t$ となるので、曲面の方程式は $z=\dfrac{v}{\omega}\arctan\dfrac{y}{x}$ となる。

線分 $\rm PQ$ の正射影が $xy$ 平面で一周するときの時間 $\dfrac{2\pi}{\omega}$ において掃く面積を求める。この面積 $S$ は
$S=\displaystyle\int_{x^2+y^2\leqq l^2} \sqrt{\Bigl(\dfrac{\partial z}{\partial x}\Bigr)^2+\Bigl(\dfrac{\partial z}{\partial y}\Bigr)^2+1}dxdy$
となる．
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{v}{\omega}\cdot\dfrac{-y}{x^2+y^2}$ ， $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{v}{\omega}\cdot\dfrac{x}{x^2+y^2}$ であるから、
$S=\displaystyle\int_{x^2+y^2\leqq l^2} \sqrt{\dfrac{v^2}{\omega^2}+1}\,dxdy$ $=\displaystyle\sqrt{\dfrac{v^2}{\omega^2}+1} \int_{x^2+y^2\leqq l^2} \,dxdy$ $=\sqrt{\dfrac{v^2}{\omega^2}+1} \cdot\pi l^2$
となる。よって単位時間に掃く面積は
$\dfrac{\omega}{2\pi}S=\dfrac{1}{2}\sqrt{v^2+\omega^2}l^2$
となり、与えられた時間を $T$ とすると、求める面積は
$\dfrac{1}{2}\sqrt{v^2+\omega^2}l^2T$
となる．