[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

[2] 一定量ノ金屬ヲ充實セル直圓柱（right circular cylinder）ヲ作ルニ全表面ヲ成ルベク小サクセントス．直徑ト高サトノ關係ヲ如何ニスベキカ．

2020.03.04記

体積を $2\pi$ とし、底面の半径を $r$ 、高さを $h$ とすると、 $r^2h=2$ のときに
$2\pi (r^2+rh)=2\pi (r^2+\dfrac{2}{r})$
を最小にすれば良い。

$r^2+\dfrac{2}{r}\geqq 3\sqrt[3]{r^2\cdot\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{1}{r}}=3$
で等号成立は $r=1$ のとき。このとき高さは $h=2$ だから、直径と高さを等しくすれば良い。