1928年(昭和3年)東北帝國大學工學部數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 次ノ各項ヲ算出セヨ。

(イ) $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x(a+bx^n)}$

(ロ) $\displaystyle\int \dfrac{dx}{1+\cos x}$

(ハ) $\displaystyle\int \log xdx$

(ニ) $\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}$

(ホ) $y=x^{x^{x^x}}$ ナルトキ $\dfrac{dy}{dx}$ ヲ求ム。

2019.03.27記

(ホ)は、よくこんな面倒なのを出したなぁという感じ。易しい順番でないのが謎。

解説:
(イ) $a=b=0$ のとき、問題として成立しない。

$a=0,b\neq 0$ のとき、
$n=0$ なら $\dfrac{1}{b}\log |x|+C$
$n\neq 0$ なら $-\dfrac{1}{bnx^n}+C$

$a\neq 0$ のとき、
$\dfrac{1}{x(a+bx^n)}=\dfrac{1}{ax}-\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{bx^{n-1}}{a+bx^n}$ であるから、
$n=0$ なら $\dfrac{1}{a+b}\log |x|+C$
$n\neq 0$ なら $\dfrac{1}{a}\log |x|-\dfrac{1}{an}\log|a+bx^n|+C=\dfrac{1}{an}\log\left|\dfrac{x^n}{a+bx^n}\right|+C$

(ロ) $\displaystyle\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{\cos^2(x/2)}=\tan\dfrac{x}{2}+C$

(ハ) $x\log x-x+C$

(ニ) $\sqrt{x^2-a^2}=t-x$ と置換すると $x=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{a^2}{t}\right)$ である。
よって $\sqrt{x^2-a^2}=\dfrac{t^2-a^2}{2t}$ であり、 $dx=\dfrac{t^2-a^2}{2t^2}dt$ であるから、
$\displaystyle\int\dfrac{dt}{t}=\log |t|+C=\log |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$

別解として、 $x=|a|\sec\theta$ と置換して
$\displaystyle\int |\sec\theta| d\theta=\log|\sec\theta+|\tan\theta||+C$ に帰着させたりもできる。
双曲線関数を利用すると、 $\cosh^{-1}\dfrac{x}{a}+C$ となる。

(ホ) $x^x=y_2$ 、 $x^{x^x}=y_3$ とおくと $\dfrac{dy_2}{dx}=x^x(1+\log x)$ である。
$\log y_3=y_2\log x$ であるから、 $\dfrac{dy_3}{dx}=x^{x^x}\left\{x^x(1+\log x)\log x+\dfrac{x^x}{x}\right\}$ である。
$\log y=y_3\log x$ であるから、
$\dfrac{dy}{dx}=x^{x^{x^x}}\left\{x^{x^x}\left\{x^x(1+\log x)\log x+\dfrac{x^x}{x}\right\}\log x+\dfrac{x^{x^x}}{x}\right\}$
$=x^{x^{x^x}}x^{x^x}\left\{x^x\left\{(1+\log x)\log x+\dfrac{1}{x}\right\}\log x+\dfrac{1}{x}\right\}$
である。