2020年(令和2年)京都大学数学(文系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

$a$ を奇数とし，整数 $m, \, n$ に対して， $f(m, \, n)=mn^2+am^2+n^2+8$ とおく． $f(m, \, n)$ が16で割り切れるような整数の組 $(m, \, n)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ．

2020.03.04記

[解答]

$f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8$ が16で割り切れるためには、 $f(m,n)$ は偶数である必要がある。

一般に2乗しても偶奇は変わらないこと，及び $a$ が奇数であることから
$f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8$ $\equiv mn+m+n$ $=(m+1)(n+1)-1（\mbox{mod}\, 2）$ が偶数となるには、 $m,\, n$ はともに偶数でなければならない。

$m=2p ,\, n=2q$ とおくと、 $f(m,n)=8pq^2+4ap^2+4q^2+8$ となるので、
$g(p,q)=2pq^2+ap^2+q^2+2$
が4の倍数となれば良く、そのためには $g(p,q)$ が偶数である必要がある。

一般に2乗しても偶奇は変わらないこと及び $a$ が奇数であることから
$g(p,q)=2pq^2+ap^2+q^2+2\equiv p+q（\mbox{mod}\, 2）$
が偶数となるには、 $p,\,q$ の偶奇が同じである必要がある。

(i) $p,q$ がともに偶数のとき

$p=2s,\,q=2t$ とおくと、 $p^2\equiv q^2 \equiv 0$ (mod 4)だから
$g(p,q)=2pq^2+ap^2+q^2+2\equiv 2（\mbox{mod}\, 4）$
は4では割り切れないので解は存在しない。

(i) $p,q$ がともに奇数のとき

$p=2s-1,\,q=2t-1$ とおくと、 $p^2\equiv q^2 \equiv 1$ (mod 4)だから
$g(p,q)=2pq^2+ap^2+q^2+2$
$\equiv 2p+a+3=4s+a+1\equiv a+1$
が4で割り切れるためには、 $a$ を4で割った余りが3であることが必要十分。