2022.02.27記
2022.02.27記
東大、京大、九大とユークリッドの互除法はやってんなぁ。
隣合う自然数は互いに素は有名。
[解答]
(1) [1] の右辺は奇数であるから,左辺のは奇数となり,よって は奇数である.よって
, はともに整数である.
ここでユークリッドの互除法により
だから,この2つ自然数は互いに素.
(2) は奇数により とおき, とおくと,
は連続2整数の積の2倍であるから4の倍数である.
で考えると,
で ,,
で ,,
で ,,
となるので, から でなければならない.つまり, は 3の倍数。
次にで考えると,
で ,,
で ,,
で ,,
で ,,
で ,,
で ,,
で ,,
となるので, から でなければならない.つまり, は 7の倍数。
以上から, は 3,7,4 の公倍数であるから,84の倍数となり,よって は 168の倍数。
(3) (2)より とおくと, だから となる.
よって は偶数で, とおくと となる.
ここで と は互いに素だから,, は片方が平方数,もう片方が平方数の5倍という形になる.
そこで が平方数の5倍となるような解を探す。つまり となるものを探してみる.
このとき となるが,左辺が偶数より は偶数であることから, とおくと
が得られる.ここで が平方数でなければならない.
たまたま を覚えていれば, とすれば良いことがわかる.
(そうでなければ, と試すことになる)
よって が得られ,,, を経て
が得られる.
これは面倒だった。