2021年(令和3年)京都大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

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次の各問に答えよ.

問1 $xyz$ 空間の3点 ${\rm A}(1,0,0)$ ， ${\rm B}(0, - 1,0)$ ， ${\rm C}(0,0,2)$ を通る平面 $\alpha$ に関して点 ${\rm P}(1,1,1)$ と対称な点 $\rm Q$ の座標を求めよ．ただし，点 $\rm Q$ が平面 $\alpha$ に関して $\rm P$ と対称であるとは，線分 $\rm PQ$ の中点 $\rm M$ が平面 $\alpha$ 上にあり，直線 $\rm PM$ が $\rm P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線となることである．

問2 赤玉，白玉，青玉，黄玉が1個ずつ入った袋がある．よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し，その玉の色を記録してから袋に戻す．この試行を繰り返すとき， $n$ 回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ．ただしnは4以上の整数とする．

2021.02.14記

[解答]

問1
切片方程式から， $\alpha:x-y+\dfrac{z}{2}=1$ となるので， $\alpha$ の法線ベクトルとして $\overrightarrow{n}=(2,-2,1)$ をとることができる． $\rm P$ から $\alpha$ に下した垂線の足を $\rm H$ とすると，正射影ベクトルから $\overrightarrow{\rm PH}=\dfrac{\overrightarrow{\rm PA}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|^2}\overrightarrow{n}$ $=\dfrac{1}{9}\overrightarrow{n}$ となる．よって $\overrightarrow{\rm OQ}=\overrightarrow{\rm OP}+2\overrightarrow{\rm PH}$ $\Bigl(\dfrac{13}{9},\dfrac{5}{9},\dfrac{11}{9}\Bigr)$ となり， $\rm Q$ の座標は $\Bigl(\dfrac{13}{9},\dfrac{5}{9},\dfrac{11}{9}\Bigr)$ となる．

問2
$n-1$ 回目までに白，青，黄だけが少くとも1回以上ずつ出る場合の数を求める．

$n-1$ 回目までに白，青，黄の1色だけが出る場合の数は $3$ 通りである．

$n-1$ 回目までに白，青，黄のうち2色以下が出る場合の数は $3\cdot 2^{n-1}$ 通りだから， $n-1$ 回目までに白，青，黄のうちちょうど2色が出る場合の数は $3\cdot 2^{n-1}-3$ 通りである．

$n-1$ 回目までに白，青，黄の3色以下が出る場合の数は $3^{n-1}$ 通りだから， $n-1$ 回目までに白，青，黄のうちちょうど3色が出る場合の数は $3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3$ 通りである．

また， $n$ 回目に赤が出るのは1通りであるから，題意をみたす場合の数は $3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3$ 通りであり，よって求める確率は
$\dfrac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}$ となる．

個人的には垂直2等分面の式を次のように出すのが好み．

問1
${\rm Q}(p,q,r)$ とおくとき， $\rm PQ$ の垂直2等分面が $\alpha$ となれば良い．垂直2等分面上の点 $(x,y,z)$ は
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=(x-p)^2+(y-q)^2+(z-r)^2$ ，
つまり
$2(p-1)x+2(q-1)y+2(r-1)z=p^2+q^2+r^2-3$
をみたす．これが $\alpha$ の方程式 $2x-2y+z=2$ と同値であるから
$p-1:q-1:r-1:\dfrac{3-p^2-q^2-r^2}{2}=2:-2:1:2$
が成立する．前3項から
$p=1+2k$ ， $q=1-2k$ ， $r=1+k（k\neq 0）$
とおけるので，第4項目から
$9k^2+2k=4k$ となり， $k\neq 0$ から $k=\dfrac{2}{9}$ 　となる．

よって $\Bigl(\dfrac{13}{9},\dfrac{5}{9},\dfrac{11}{9}\Bigr)$