2022年(令和4年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.26記

[4] $\rm O$ を原点とする座標平面上で考える。 $0$ 以上の整数 $k$ に対して，ベクトル $\vec{v_k}$ を
$\vec{v_k}=\left(\cos\dfrac{2k\pi}{3},\sin\dfrac{2k\pi}{3}\right)$
と定める。投げたとき表と裏がどちらも $\dfrac{1}{2}$ の確率で出るコインを $N$ 回投げて，座標平面上に点 ${\rm X}_{0}$ ， ${\rm X}_{1}$ ， ${\rm X}_{2}$ ，……， ${\rm X}_{N}$ を以下の規則 (i),(ii) に従って定める。

(i) ${\rm X}_{0}$ は ${\rm O}$ にある。

(ii) $n$ を $1$ 以上 $N$ 以下の整数とする。 ${\rm X}_{n-1}$ が定まったとし， ${\rm X}_{n}$ を次のように定める。

・ $n$ 回目のコイン投げで表が出た場合，
$\vec{{\rm OX}_n}=\vec{{\rm OX}_{n-1}}+\vec{v_k}$
により ${\rm X}_n$ を定める。ただし， $k$ は1回目から $n$ 回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。

・ $n$ 回目のコイン投げで裏が出た場合， ${\rm X}_n$ を ${\rm X}_{n-1}$ と定める。

(1) $N = 5$ とする。 ${\rm X}_5$ が $\rm O$ にある確率を求めよ。

(2) $N = 98$ とする。 ${\rm X}_{98}$ が $\rm O$ にあり，かつ，表が90回，裏が8回出る確率を求めよ。

[解答]

$\vec{v_0}$ 向きに進むのは裏が $3$ で割りきれる数だけ出た次に表，
$\vec{v_1}$ 向きに進むのは裏が $3$ で割った余りが1の数だけ出た次に表，
$\vec{v_2}$ 向きに進むのは裏が $3$ で割った余りが2の数だけ出た次に表

が出たときである．

また、 ${\rm X}_N={\rm O}$ となるのは $\vec{v_0}$ 向きに進んだ数と、 $\vec{v_1}$ 向きに進んだ数と、 $\vec{v_2}$ 向きに進んだ数の全てが等しいときである．よって表が $3$ の倍数回出るときである。

以上から， ${\rm X}_N={\rm O}$ となるのは表が $3$ の倍数回出るときであり，それを $3r$ 回とすると $0$ から $N-3r$ までの数で $3$ で割り切れる数、余りが1の数、余りが2の数が重複を許して丁度 $r$ 個ずつ選ばれるときである．

(1) 表が0回のとき：1通り

表が3回のとき：0から2までの3個の数で $3$ で割り切れる数、余りが1の数、余りが2の数は $1$ 個ずつあるので
$1^3=1$ 通り

表が3回のとき：0から2までの3個の数で $3$ で割り切れる数、余りが1の数、余りが2の数は $1$ 個ずつあるので
$1^3$ 通り

以上を合計して2通りだから， $\dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{16}$ となる．

(2) 表が90回により，0から $8$ までの $9$ 個の数で $3$ で割り切れる数、余りが1の数、余りが2の数は $3$ 個ずつあるので，重複組合せから $({}_{3}\mbox{H}_{30})^3=({}_{32}\mbox{C}_{30})^3=({}_{32}\mbox{C}_2)^3=2^{12}\cdot 31^3$ 通りとなる．

よって求める確率は $\dfrac{31^3}{2^{86}}$ である．