1966年(昭和41年)東京大学-数学(理科)[6](旧課程) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[6](旧課程) 平面上で，曲線 $x+y^2-5=0$ を， $x$ 軸に平行なある直線 $l_1$ に関して折り返し，さらに別の直線 $l_2$ に関して折り返せば，曲線 $x^2-y+1=0$ に重なるという．直線 $l_1$ および $l_2$ の方程式を求めよ．

本問のテーマ

折り返しの合成は回転

2020.09.29記

[うまい解答]
$l_1$ ， $l_2$ に関する折り返しの合成は， $l_1$ ， $l_2$ の交点に関する回転となる．放物線の向きに着目すると $-90^{\circ}$ 回転であり，頂点が $(5,0)$ から $(0,1)$ に移るので回転の中心はこの2点を斜辺とする直角2等辺三角形の頂点のうちの $(3,3)$ となる．

また，回転量は2直線のなす角度の2倍であり，それが $-90^{\circ}$ であるから， $l_1$ を $-45^{\circ}$ 回転すると $l_2$ となる．

以上から， $l_1$ は $(3,3)$ を通り $x$ 軸に平行な直線だから $y=3$ となり， $l_2$ はこれを $(3,3)$ 中心に $-45^{\circ}$ 回転させた $y=-(x-3)+3=-x+6$ となる．

2022.05.02記
変換を決定するために2点の像を追跡する．ここでは放物線の頂点と焦点に着目する．

[解答]
$x+y^2-5=0$ は $y^2=4\left(-\dfrac{1}{4}\right)(x-5)$ と変形できるので，
頂点は $(5,0)$ ，焦点は $\left(\dfrac{19}{4},0\right)$
である．

$l_1$ を $y=k$ とすれば，折り返して得られる放物線の
頂点は $(5,2k)$ ，焦点は $\left(\dfrac{19}{4},2k\right)$
である．

それを $l_2$ に関して折り返すと
$x^2-y+1=0$ に移り，これは $x^2=4\cdot\dfrac{1}{4}(y-1)$ と変形できることから
頂点は $(0,1)$ ，焦点は $\left(0,\dfrac{5}{4}\right)$
である．

よって　 $(5,2k)$ と $(0,1)$ は $l_2$ に対して対称であり，
$\left(\dfrac{19}{4},2k\right)$ と $\left(0,\dfrac{5}{4}\right)$ も $l_2$ に対して対称である．

これから， $(5,2k)$ と $(0,1)$ を結ぶ直線の傾きと $\left(\dfrac{19}{4},2k\right)$ と $\left(0,\dfrac{5}{4}\right)$ を結ぶ直線の傾きは等しいので，
$5:(2k-1)=\dfrac{19}{4}:\left(2k-\dfrac{5}{4}\right)$
となり $k=3$ であり，傾きは $1$ となる．

よって $l_1$ は $x=3$ であり， $l_2$ は $(5,6)$ と $(0,1)$ の垂直2等分線なので
$(x-5)^2+(y-6)^2=x^2+(y-1)^2$ を整理した $y=-x+6$ となる．