1992年(平成4年)東京大学後期-理I・総合科目ＩＩ[1]

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図(a)のようなピンホールカメラにおいて，実体 $\rm P$ が撮像面に投影像 ${\rm p}$ として映る． $\rm P$ と $\rm p$ の関係を考えるために，3次元座標系 ${\rm O}-XYZ$ 及び， $Z=-f$ の位置に図(b)のように2次元座標系 ${\rm o}-xy$ を持つ撮像面をおく．以下の問に答えよ．

図(a)
図(b)

(1) 空間の点 ${\rm P}(X,Y,Z)$ が投影される点を ${\rm p}(x,y)$ とするとき， $x,y$ を $X, Y,Z ,f$ で表せ．

(2) 空間の点 ${\rm P}_0(X_0,Y_0,Z_0)$ を通り，方向ベクトルが　 $(m_1, m_2, m_3)$ で，撮像面に平行でない直線 $\rm L$ 上の点 $\rm P$ の投影される点を $p$ とする．点 $\rm P$ が無限遠へ移動する場合に， $\rm p$ が収束する点は，直線 $\rm L$ の消失点と呼ばれる．消失点の座標を求めよ．

(3) 空間の点 ${\rm P}_0(X_0,Y_0,Z_0)$ を通り，法線ベクトルが $(n_1,n_2,n_3)$ で，撮像面に平行でない平面を考える．この平面上の直線の消失点の全体の集合を求めよ．

(4) 空間中の2直線が直交している時，それぞれの消失点が撮像面上の $(a,b)$ ， $(a', b')$ で表わされる時の $a,b,a',b'$ の間の関係式を求めよ．

2021.02.14記
カメラの幾何学（コンピュータビジョン）
射影幾何学

[解答]

(1) $x=\dfrac{fX}{Z}$ ， $y=\dfrac{fY}{Z}$

(2) $X=X_0+tm_1$ ， $Y=Y_0+tm_2$ ， $Z=Z_0+tm_3（t\in\mathbb{R}）$ として $t\to\infty$ とすると $x\to\dfrac{fm_1}{m_3}$ ， $y\to\dfrac{fm_2}{m_3}$ だから $\Bigl(\dfrac{fm_1}{m_3},\dfrac{fm_2}{m_3}\Bigr)$