2021年(令和3年)京都大学-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2]

曲線 $y=\dfrac{1}{2}(x^2+1)$ 上の点 $\rm P$ における接線は $x$ 軸と交わるとし，その交点を $\rm Q$ とおく．線分 $\rm PQ$ の長さを $L$ とするとき， $L$ が取りうる値の最小値を求めよ．

2021.02.14記

[解答]

${\rm P}\Bigl(t,\dfrac{1}{2}(t^2+1)\Bigr)$ とおくと， $y'=x$ だから $\rm P$ における接線の方程式は $y=tx-\dfrac{1-t^2}{2}$ となる．

これが $x$ 軸と交わる必要十分条件は $t\neq0$ であり，このとき線分 $\rm PQ$ の傾きが $t$ だから， $L={\rm PQ}$ は $\rm P$ と $\rm Q$ の $y$ 座標の差の $\dfrac{\sqrt{t^2+1}}{t}$ 倍となる．

よって $L^2=\dfrac{t^2+1}{t^2}\cdot\Bigl(\dfrac{t^2+1}{2}\Bigr)^2$ であり， $t^2=s\gt 0$ とおくと $4L^2=\dfrac{(s+1)^3}{s}（=f(s)とおく）$ となる．
$(\log f(s))'=\dfrac{3}{s+1}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{2s-1}{s(s+1)}$
により， $f(s)$ の増減表は次図