2021年(令和3年)京都大学-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[5]

$xy$ 平面において，2点 ${\rm B}(-\sqrt{3},-1)$ ． ${\rm C}(\sqrt{3},-1)$ に対し．点 $\rm A$ は次の条件(*)を満たすとする．

(*) $\triangle{\rm BAC}=\dfrac{\pi}{3}$ かつ点 $\rm A$ の $y$ 座標は正．

次の各問に答えよ．

(1) $\triangle{\rm ABC}$ の外心の座標を求めよ．

(2) 点 $\rm A$ が条件(*)を満たしながら動くとき， $\triangle{\rm ABC}$ の垂心の軌跡を求めよ．

2021.03.09記
オイラー線から，三角形 $\triangle\rm ABC$ の重心が原点 $\rm O$ のとき，垂心 $\rm H$ の位置ベクトルは
$\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}$
となるので，
$\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+(0,-2)$
となる．

[解答]

(1) 円周角の定理より， $\triangle{\rm ABC}$ の外接円の弧 $\rm BC$ に対する中心角は $\dfrac{2\pi}{3}$ であるから，外接円の中心は $(0,0)$ はまた $(0,-2)$ となるが，外接円の中心が $(0,-2)$ となる場合，円周上に $x\gt 0$ となる部分は存在せず，また外接円の中心が $(0,0)$ となる場合，円周上に $x\gt 0$ となる部分は確かに存在するので，求める座標は $(0,0)$ である．

(2) (1)より ${\rm A}(2\cos\theta,2\sin\theta)（\sin\theta\gt 0）$ とおける． ${\rm H}$ から $\rm BC$ に下した垂線の式は $x=2\cos\theta$ だから， ${\rm H}(2\cos\theta,Y)$ とおくと， $\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm BH}=0$ から
$(\sqrt{3}-2\cos\theta)(2\cos\theta+\sqrt{3})+(-1-2\sin\theta)(Y+1)=0$
となる．整理すると
$(2\sin\theta+1)Y=-2(2\sin\theta+1)(\sin\theta-1)=0$
となるが， $\sin\theta\gt 0$ より $2\sin\theta+1\neq 0$ だから $Y=2\sin\theta-2$ となる．つまり， $\rm H$ は $\rm A$ を $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した点となるので，求める軌跡は $x^2+(y+2)^2=4$ かつ $y\gt -2$ である．