2001年(平成13年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.03記

[1] 半径 $r$ の球面上に4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ がある．四面体 $\mbox{ABCD}$ の各辺の長さは，
$\mbox{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mbox{AC}=\mbox{AD}=\mbox{BC}=\mbox{BD}=\mbox{CD}=2$
を満たしている．このとき $r$ の値を求めよ．

本問のテーマ

ユークリッド距離行列と Cayley-Menger 行列

2020.09.03記
外接球の半径は
外接超球面の半径 - 球面倶楽部零八式 mark II
という公式から求めることができるが，これは各点を座標におかなければならない．

まずは普通に解いてから，大人の解法を説明しよう．

第一手は、球面の中心がどこにあるかを探ることである。

[解答]
球の中心を ${\rm O}$ とし， ${\rm CD}$ の中点を ${\rm M}$ とすると ${\rm OC=OD}$ により ${\rm O}$ は ${\rm CD}$ の垂直2等分面，つまり平面 ${\rm ABM}$ 上にある． ${\rm AB}$ の中点を ${\rm N}$ とすると， ${\rm OA=OB}$ により ${\rm O}$ は ${\rm AB}$ 垂直2等分面上にある．よって， ${\rm O}$ は $\triangle{\rm ABM}$ の中線 ${\rm MN}$ 上にある．

さて， $\triangle{\rm ACD}$ は正3角形なので ${\rm AM}=\sqrt{3}$ となる．同様に ${\rm BM}=\sqrt{3}$ であるから $\triangle{\rm ABM}$ は一辺が $\sqrt{3}$ の正3角形となり ${\rm OM+ON=MN}=\dfrac{3}{2}$ が成立する．

ここで ${\rm OC}^2={\rm OM}^2+{\rm MC}^2$ により $r^2={\rm OM}^2+1$ であり， ${\rm OA}^2={\rm ON}^2+{\rm NA}^2$ により $r^2={\rm ON}^2+\dfrac{3}{4}$ であるから，

${\rm OM}^{2}+1＝{\rm ON}^{2}+\dfrac{3}{4}$ ，
${\rm ON}^{2}-{\rm OM}^{2}=\dfrac{1}{4}$ ，
${\rm ON}-{\rm OM}=\dfrac{1}{6}$

が成立する。よって ${\rm ON}=\dfrac{5}{6}$ となり $r^2=\dfrac{13}{9}$ ，つまり $r=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ となる．

座標にのせるのも良いだろう．

[別解]
${\rm CD}$ の中点を ${\rm M}$ とすると ${\rm AM=BM=\sqrt{3}}$ であるから ${\rm \triangle ABC}$ は正3角形である。

よって
${\rm A}\Bigl(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,0\Bigr)$ ， ${\rm B}\Bigl(-\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\,0\Bigr)$ ， ${\rm M}(1,\,0,\,0)$ ， ${\rm C}(1,\,0,\,1)$ ， ${\rm D}(1,\,0,\,-1)$
とおくことができる．

$\rm A，B，C，D$ を通る球の方程式を
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz=d$
とおくと $\rm A，B，C，D$ の座標を代入することにより
$1-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{\sqrt{3}}{2}b=d$ ， $1-\dfrac{1}{2}a-\dfrac{\sqrt{3}}{2}b=d$ ，
$2+a+c=d$ ， $2+a-c=d$
となる．よって $a=-\dfrac{2}{3}$ ， $b=c=0$ ， $d=\dfrac{4}{3}$ となり，
球の方程式は
$x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}x=\dfrac{4}{3}$
つまり，
$\Bigl(x-\dfrac{1}{3}\Bigr)^2+y^2+z^2=\dfrac{13}{9}$
となる．よって球の半径は $\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ となる．

四面体の外接球の半径を6辺の長さで表す - 球面倶楽部零八式 mark II
のように，公式化することができる．

[大人の解答]
四面体の辺の長さを $a=b=c=x=y=2，z=\sqrt{3}$ とおく．

四面体の体積を $V$ とすると，公式から
$R^2=\dfrac{1}{(24V)^2}(ax+by+cz)(-ax+by+cz)$ $\times (ax-by+cz)(ax+by-cz)$ $=\dfrac{1}{(24V)^2}(8+2\sqrt{3})\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot (8-2\sqrt{3})$ $=\dfrac{16}{(24V)^2}\cdot 3(16-3)$ $=\dfrac{13}{12V^2}$
となる．

四面体の体積 $V$ は， $\rm AB$ の中点を $\rm N$ ， $\rm CD$ の中点を $\rm M$ としたとき， $\dfrac{1}{6}{\rm AB\cdot MN\cdot CD}$ （３つの線分は互いに垂直）であり， $\rm MN=\dfrac{3}{2}$ が簡単な計算からわかるので， $V=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるから， $R=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$

大人の解法が簡単に答えが出るという訳ではないが，機械的に答えが出る．
なお， $R=\dfrac{1}{24V}\sqrt{\{(ax)^2+(by)^2+(cz)^2\}^2-2\{(ax)^4+(by)^4+(cz)^4)\}}$ $=\dfrac{1}{24V}\sqrt{(4^2+4^2+12)^2-2(4^4+4^4+9\cdot 2^4)}$ $=\dfrac{1}{6V}\sqrt{(4+4+3)^2-2(4^2+4^2+9)}$ $=\dfrac{1}{6V}\sqrt{121-2\cdot 41}$ $=\dfrac{\sqrt{39}}{6V}$
や
$R=\dfrac{1}{24V}\sqrt{2\{(abxy)^2+(bcyz)^2+(cazx)^2\}-\{(ax)^4+(by)^4+(cz)^4\}}$
と計算しても良い．

四面体の体積も公式
四面体の体積を求めるオイラーの公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
を使えばより機械的である．

$z=\sqrt{3}$ で残りを $2$ とすると
$V^2=\dfrac{1}{288}{\rm det} \begin{pmatrix} 8 & 5 & 4 \\ 5 & 8 & 4 \\ 4 & 4 & 8 \\ \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{288}{\rm det} \begin{pmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 5 & 8 & 4 \\ -6 & -12 & 0 \\ \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{72}{\rm det} \begin{pmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -12 & 0 \\ \end{pmatrix}$ $=\dfrac{-1}{4}{\rm det} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{3}{4}$ となり， $V=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる．