2021年(令和3年)京都大学-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[6]

次の各問に答えよ．

問1 $n$ を2以上の整数とする． $3^n - 2^n$ が素数ならば $n$ も素数であることを示せ．

問2 $a$ を1より大きい定数とする．微分可能な関数 $f(x)$ が $f(a)=af(1)$ を満たすとき，曲線 $y=f(x)$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものが存在することを示せ．

2021.03.09記

[解答]

問1
$n$ が合成数 $pq（2\leqq p\leqq q）$ であるとすると
$3^n-2^n$ $=(3-2) \Bigl(\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1} 3^{p-1-i} 2^{i} \Bigr) \Bigl(\displaystyle\sum_{j=0}^{q-1} 3^{p(q-1-j)} 2^{pj} \Bigr)$
となるが，
$\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1} 3^{p-1-i} 2^{i}\geqq 3+2=5$ ，
$\displaystyle\sum_{j=0}^{q-1} 3^{p(q-1-j)} 2^{pj}\geqq 3^p+2^p\geqq 3^2+2^2=13$
により， $3^n-2^n$ は合成数となるので，その対偶から題意は証明された．

問2（ $x$ の定義域が区間 $[1,a]$ を含むことを前提としている）
$y=f(x)$ の $x=t$ における接線 $y=f'(t)(x-t)+f(t)$ が原点を通る必要十分条件は $f'(t)=\dfrac{f(t)}{t}$ をみたす実数 $t$ が存在することである．
$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ とおくと， $f(x)$ が微分可能であるから $g(x)$ も微分可能であり， $g'(x)=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$ が成立する．
$g(a)-g(1)=\dfrac{f(a)-af(1)}{a}=0$ であるから，Rolle の定理により $g'(c)=\dfrac{cf'(c)-f(c)}{c^2}=0$ なる $c\in (1,a)$ が存在する．

よって $f'(c)=\dfrac{f(c)}{c}$ が成立するので， $y=f(x)$ の $x=c$ における接線は原点を通るので確かに存在する．