[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2021年(令和3年)京都大学-数学(理系)[4]

[4]

曲線 y=\log(1+\cos x) の 0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2} の部分の長さを求めよ．

2021.03.09記

[解答]

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-\sin x}{1+\cos x}=-\tan\dfrac{x}{2} だから，求める長さ L は
L=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+\Bigl(\dfrac{dy}{dx}\Bigr)^2}dx=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+\tan^2\dfrac{x}{2}}dx=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{1}{\cos\dfrac{x}{2}}dx
（∵0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2} で \cos\dfrac{x}{2}\gt 0）
=2\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos u}du=2\displaystyle\int_0^{\pi/4} \dfrac{(\sin u)'}{1-\sin^2 u}du=\displaystyle\int_0^{\pi/4} \Bigl(\dfrac{1}{1+\sin u} - \dfrac{1}{1-\sin u}\Bigr) (\sin u)' du=\Bigl[\log\dfrac{1+\sin u}{1-\sin u}\Bigr]_0^{\pi/4}=\log\dfrac{1+1/\sqrt{2}}{1-1/\sqrt{2}}=\log\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=2\log(\sqrt{2}+1)