2023年(令和5年)京都大学-数学(文系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.23記

[1] 次の各問に答えよ．

問1 $n$ を自然数とする．1個のさいころを $n$ 回投げるとき，出た目の積が5で割り切れる確率を求めよ．

問2 次の式の分母を有理化し，分母に3乗根の記号が含まれない式として表せ．
$\dfrac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}$

2023.11.23記
問2 分母それぞれの成分を3乗して消すために $a^3+b^3+c^3-3abc$ の因数分解を利用する．

[解答]
問1 少なくとも1回5の目が出れば良いので，求める確率は $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$ $=\dfrac{6^n-5^n}{6^n}$

問2 $x=\sqrt[3]{3}$ （ $x^3=3$ ）として $a=2x^2$ ， $b=x$ ， $c=5$ とすると
$\dfrac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}$
$=\dfrac{55}{a+b+c}$
$=\dfrac{55(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{a^3+b^3+c^3-3abc}$
$=\dfrac{55(4x^4+x^2+25-2x^3-5x-10x^2)}{8x^6+x^3+125-30x^3}$
$=\dfrac{55(12x+x^2+25-6-5x-10x^2)}{72+3+125-90}$
$=\dfrac{55(-9x^2+7x+19)}{110}$
$=\dfrac{-9x^2+7x+19}{2}$ $=\dfrac{-9\sqrt[3]{9}+7\sqrt[3]{3}+19}{2}$

問2 1変数多項式環の逆元を利用する．

[別解]
問2 $x=\sqrt[3]{3}$ （ $x^3=3$ ）として
$2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5=2x^2+x+5=:f(x)$
である．

このとき
$xf(x)=x^2+5x+6$ ， $x^2f(x)=5x^2+6x+3$
であり，
$(ax^2+bx+c)f(x)$ が定数となる $a,b,c$ の組を探すと
$5a+b+2c=0，6a+5b+c=0$
から $a:b:c=-9:7:19$ で，このとき
$(-9x^2+7x+19)f(x)=-27+42+95=110$
が成立する．よって
$\dfrac{55}{f(x)}=\dfrac{55(-9x^2+7x+19)}{110}$ $=\dfrac{-9x^2+7x+19}{2}$ $=\dfrac{-9\sqrt[3]{9}+7\sqrt[3]{3}+19}{2}$