2023.08.18記
[4] 平面で点 を通り,曲線 ……(1) に接する直線のうち,接点の 座標が をみたすものを , とする.ただしこれらの直線は点 , において曲線(1)に接するものとする.このとき曲線(1)の点 から点 までの部分と,線分 ,線分 で囲まれた領域の面積を求めよ.
本問のテーマ
「の差」公式
2023.08.18記
まずは普通の解き方
[解答]
の における接線の方程式は
であり,これが を通るので
が成立する.整理して
となるので接点の 座標が0以上のものは となる.
よって2つの接線は , であり,接点は(どちらをとしても良いので)
, となる.
の における接線の方程式は
であり,これが を通るので
が成立する.整理して
となるので接点の 座標が0以上のものは となる.
よって2つの接線は , であり,接点は(どちらをとしても良いので)
, となる.
よって求める面積は
「の差」公式
数学ショートプログラムの p.82-89 に詳細がある.本問に必要な部分だと
と を通る直線 が 座標が なる点(異なる3点でなくても良い)で交わるとき,
と因数分解できるので, における 座標の差 は
と 座標の差の積(にを乗じたもの)となる,
というものである.